SECONDE PARTIE, CHAP. XIII. a g 9 
indépendant de x, c’est-à-dire le maximum ou minimum de la fonction 
primitive de 
x > y •■••) + 7, 
en regardant A comme une quantité constante. De cette manière, 
on aura d’abord l’équation 
f'CY) ~ [ f'(y)]'+ Cf' (/' )]"- etc. + A<p ; (7) 
-A[cp'(7 / )]'4- A [>'(7")]" — etc. = o, 
et on déterminera la constante A de manière que la fonction pri 
mitive de (p [x , 7,7'... ), prise depuis x = a jusqu’à æ = h, soit 
donnée ; et ainsi du reste. 
70. Les problèmes de la brachystochrone et des isopérbnetres pro 
posés et résolus d’abord par les deux frères Bernoulli, ont ouvert 
la route pour traiter ce nouveau genre de questions de maximis 
et minimis. On a trouvé ensuite successivement des méthodes plus 
générales et plus simples, et on est parvenu enfin au calcul des 
variations, qui paraît ne rien laisser à desirer sur ce sujet. Comme 
les équations trouvées plus haut ( art. 62, 70) sont les mêmes, à 
la notation près, que celles qui résultent de ce calcul, nous pour 
rions nous dispenser de les appliquer à des exemples ; mais il 
ne sera pas inutile de montrer encore par un exemple connu, l’usage 
des régies pour distinguer les maxima et minima, et s’assurer de 
leur existence. 
Nous reprendrons pour cela le problème de la brachystochrone, 
ou ligne de la plus vite descente , à cause de sa célébrité ; il con 
siste , comme l’on sait, à trouver la courbe le long de laquelle 
un corps pesant descendrait dans le moindre temps d’un point 
donné à un autre point donné, et placé dans une verticale diffé 
rente. Comme, par les principes de la mécanique, la fonction 
prime du temps est égale à la fonction prime de l’espace divi 
sée par la vitesse , et que dans les corps qui tombent par la 
pesanteur , la vitesse est toujours proportionnelle à la racine 
carrée de la hauteur d’où ils sont censés être descendus , si 
on rapporte aux trois coordonnées rectangulaires x\ y, s, la 
courbe décrite par le corps, et qu’on prenne les abscisses x 
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