V4 Â + *) O + y' % z 2 У
SECONDE PARTIE, CHAP. XIII.
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en faisant l et n = o ; et Ton aura pour la courbe cette équation
unique entre les coordonnées æ et y,
У
v(. h + x) I 4-y 2 )
m
d’où Гоп tire
,v. t m. 1 -V. N
équation à la cycloïde, les abscisses x étant prises sur le dia
mètre du cercle générateur, et les ordonnées y perpendiculaire
ment à ce diamètre.
Puisqu’on suppose que les deux points extrêmes de la courbe
sont donnés, les quantités co et r ( répondant à ces points, seront
milles, et les valeurs des quantités A et B seront nulles aussi en
prenant a et b pour les valeurs de x qui répondent à ces points;
ainsi la condition B —>A=o sera remplie. Si on faisait d’autres
hypothèses relativement à ces points, on trouverait d’autres ré
sultats ; nous ne nous y arrêterons pas, parce que ces différentes
questions ont été déjà discutées et résolues par les principes du
calcul des variations. Mais il faut voir ce que donnent les termes
où les quantités et £ monteront à la seconde dimension, et dont
la fonction primitive doit être positive pour que le minimum ait
effectivement lieu.
Comme la fonction proposée f(x,y,y'...z, z'...) ne contient
point, dans le cas présent, les variables y et z, mais seulement
leurs fonctions primes y' et z', il est facile de voir que les termes
dont il s’agit seront simplement de la forme
i (У ) + w ( y, z') +1 " 0') ;
et l’on trouve, en prenant les fonctions primes des quantités Г {y')
et f' {z') relativement l\y' et z',
f" (f, z') ==■
W‘ + x) (1 +У+*")*
y'z'
3 »
y(A-f-ar) (1 -f-y /? -f-a /2 ) 2
1 -f- y' 2