SECONDE PARTIE, CHAP. XIII. 2g 5 
qui ne contient que les premières dimensions de w, &>', etc. ; 
et je vais prouver que cette quantité sera nécessairement une 
fonction prime, si î[x, j j"...) est elle-même une fonction 
prime d’une fonction de x,f,j'... 
En effet, si cette fonction est une fonction prime, quelle que 
soit la valeur de j en x, elle le sera encore en mettant au 
lieu de j, quelle que soit la quantité oo ; donc la fonction 
f 0 5 *>'•••)' 
sera aussi nécessairement une fonction prime, en prenant pour 
une fonction quelconque de x. Supposons que celte fonction soit 
développée suivant les puissances et les produits de a> 9 co\ a> n , etc., 
et dénotons respectivement par P, Q, R, etc. les parties de ce 
développement qui contiendront les premières dimensions, les- 
secondes dimensions, les troisièmes , etc. des mêmes quantités, 
on aura 
J+^y+^y'-Hy''. • .)=f(a:,j,y,y'.. O+P+Qy-R+etc, 
Ainsi, il faudra que la quantité P + Q+R + etc. soit la fonction 
prime d’une fonction de x ,jr,y, etc. et de ¿y, a>', a>" 7 etc. ; et il est 
facile de voir que chacune des quantités P, Q, R, etc. devra être 
en particulier une fonction prime, puisque ces quantités renfer 
mant des dimensions différentes de l’indéterminée co et de ses fonc 
tions dérivées a/, ¿y", etc., il est impossible, par la nature des 
fonctions dérivées , que les fonctions primitives de P, Q, R, etc. 
dépendent les unes des autres. Or, on a 
P = oùÏ' ( j) -f- (/') -f- (û"î u (j") -f- etc. (art. cité) * 
donc, cette quantité sera d’elle-même une fonction prime. Donc, 
enfin , si la fonction f{x , y, y, f...) est une fonction prime, 
l’équation 
P (j)~[f'(/)]'+ [f'(/')]"- [f' (/'")]'"+etc. = o 
sera nécessairement identique. 
Réciproquement, on peut démontrer que si cette équation est 
identique , la fonction f (jc, jr, j"...) sera nécessairement une