3oo THÉORIE DES FONCTIONS. 
peut être different dans les differentes fonctions , mais il doit etre 
renfermé entre les limites o et i. 
Or ? la différence de fune à l’autre de celles-ci est, comme on 
voit, de l’ordre de ¿ 2 o ou de io\ c’est-à-dire, du troisième ordre, 
en regardant i et o comme très-petites du premier. Mais la diffé 
rence entre la première quantité et l’une quelconque des quatre 
dernières, est 
avec des termes du troisième ordre; donc pour que cette diffé 
rence soit toujours plus petite que la différence précédente qui n’est 
que du troisième ordre, il est nécessaire que le premier terme, 
qui est du second ordre, soit nul ; autrement il serait possible de 
prendre les accroissemens i et o assez petits pour que ce premier 
terme surpassât tous les termes du troisième ordre, et que par 
conséquent la première quantité tombât hors des limites formées 
par les quatre autres quantités. Il faudra donc que l’on ait 
io tv ( x j i )—f ( x > i )]=° } 
et par conséquent, 
V = f(*, / ), 
comme nous l’ayons trouvé plus haut. 
79. Supposons maintenant que la fonction F(.r, j) représente 
la mesure de la surface. Dans ce cas , il est clair que la quantité 
F (•*+*, j+o)—- F (jH-î , j) — FO,jrH-o)4-FO, j) 
représentera la portion de surface comprise entre les quatre faces 
du prisme droit qui a io pour base. 
Imaginons qu’aux extrémités des quatre ordonnées qui forment 
les arêtes de ce prisme , on mène quatre plans tangens à la sur 
face dans ces points; on pourra prouver, par un raisonnement 
analogue à celui de l’article 29 relatif aux tangentes, que la por 
tion de surface qui forme la base supérieure du prisme, sera 
comprise entre la plus grande et la plus petite section du prisme, 
fiâtes par les quatre plans tangens de la surface courbe.