3o4 THÉORIE DES FONCTIONS. 
et cette valeur étant substituée dans la dernière transformée de la 
fonction proposée, donnera 
[X'W x4' (“) — X r («) X 4'W] f O>j) , 
qu’on peut mettre sous cette forme plus simple, 
dans laquelle x et j peuvent être des fonctions quelconques de 
t et u, et où les traits supérieurs indiquent les fonctions dérivées 
par l'apport à t, et les inférieurs indiquent les dérivées par rap 
port à u. 
8a. Ainsi, en regardant z comme une fonction de x et jr donnée 
par la nature de la surface du corps, et supposant qu’on substitue 
à la place de x, j des fonctions quelconques de t et u, la solidité 
ou le volume du corps et sa surface seront représentées par les 
doubles fonctions primitives relatives à t et u des formules 
et (x'jr — x,j') s/1 +( 2 ?+( z /)% 
où il faut remarquer que les fonctions dérivées de z doivent être 
prises par rapport à x et y ; mais si on substitue tout de suite 
dans z, pour æ et j leurs valeurs en t et u, il est clair que z 
deviendra une simple fonction de t et u j et voici comment on 
pourra exprimer les dérivées de z par rapport à x etj par ses 
dérivées par rapport à t et u. 
Pour distinguer ces dérivées les unes des autres, nous renfer 
merons les premières entre des parenthèses. Ainsi ('z') et (z) dé 
signeront les dérivées de z prises par rapport à x et j-, et z', z f 
désigneront simplement les dérivées de z prises par rapport à t 
et u v après la substitution des valeurs de x,jr en t et u dans 
l’expression de z. En regardant donc z comme fonction de x, y, 
et x,j comme fonctions de u, et prenant les dérivées séparé 
ment par rapport à t et à u, on aura, par les principes établis 
dans la première Partie , 
2'= (z')a:'+(z ; )jr', 
2/ =5= (*')•»/4- W.T/ J 
dou