j8 théorie des fonctions. 
Pour faire l’autre substitution, soient ix-f-f'xo-j-etc., p-t~p'o~j-etc. 9 
ÿ-j-ÿ'o-j-etc., r + Eo-fetc., ce que deviennent les fonctions 
ïx,p,q,r, etc. en y mettant x-j-o pour x, et ne considérant 
dans le développement que les termes qui contiennent la première 
puissance de o, il est clair que la meme formule deviendra 
£r 4* pi 4~ <7** 4“ ri 3 4* si* 4~ e tc. 
~\-ï'xo-\-p' io-\~q' Po-{-r' Po-\-qXc. 
Comme ces deux résultats doivent être identiques, quelles que 
soient les valeurs de i et de o, on aura, en comparant les termes 
affectés de o, de io, de i*o, etc., 
pz=.ï'x, 2q = p', 5r=q f , 4s = P, etc. 
Maintenant, de meme que î'x est la première fonction dérivée 
de fx, il est clair que // est la première fonction dérivée de p, que 
q' est la première fonction dérivée de q, r' la première fonction 
dérivée de r, et ainsi de suite. Donc, si, pour plus de simplicité et 
d’uniformité , on dénote par î'x la première fonction dérivée de £r, 
par î"x la première fonction dérivée de î'x, par ï'"x la première 
fonction dérivée de ï"x, et ainsi de suite, on aura 
P = 
= î'x, 
et de là 
p' = f 
donc q = — 
* 2 
_ î"x 
’ 2 5 
et de là 
VI ko 
11 
** 
o 
fl 
o 
r C 
_ i m x 
et de là 
E = 
donc s = ~ 
f l V 
f v .r 
4 
2.3.4 
2.3.4 
et ainsi de suite. 
Donc , substituant ces valeurs dans le développement de la 
fonction f ( x + i ), on aura 
f'0 fiv™ 
f (x + i) — fx+ î'xi4-—- i* + P 4- 4 P 4- etc. 
Cette nouvelle expression a l’avantage de fair vot comment les 
termes do la série dépendent les uns des autres, et surtout comment,