548 THÉORIE DES FONCTIONS. 
de contact ; nous ayons cru devoir montrer comment, sans s’écar 
ter de l’esprit de' cette solution, mais en la rectifiant par la mé 
thode des séries, on pouvait aussi arriver à un résultat exact. En 
effet, on peut toujours trouver, par cette méthode , les premiers 
termes de l’ordonnée en série d’une courbe, ou en général du dé 
veloppement d’une fonction, lesquels satisfassent aux conditions 
mécaniques ou géométriques du problème proposé ; et la loi de ces 
termes donnera l’équation du problème. C’est en quoi consiste la 
méthode qu’on peut appeler, d’après Newton, méthode des séries, 
pour la distinguer de la méthode des différences ou des fonctions 
dérivées, par laquelle on arrive directement à cette équation 
sans le circuit des séries et sans employer d’autres termes que 
ceux qui doivent y entrer, comme on le voit par l’analyse de 
l’article 18. 
24. Il est à remarquer, au reste, que la construction employée 
par Newton dans sa seconde solution, mène à une formule sem 
blable à celle de la première que nous avons représentée par 
C = , et que nous avons vu n’être pas exacte , mais avec cette 
différence que la quantité cT, au lieu d’exprimer, comme dans la 
première solution, la différence des flèches qui répondent à des 
portions égales de la même tangente, prises de part et d’autre du 
point de contact, et dont les parties correspondantes de l’axe des x 
sont o et — o, doit exprimer, au contraire, la différence des flèches 
de deux tangentes consécutives, prises du même côté, et répon 
dantes à des parties de l’axe égales à o. Pour avoir ces flèches, 
Newton représente l’ordonnée qui répond à l’abscisse x -f- o, 
par la série P -f- Qo-f- Ro e -f-So s -f-etc.; mais il les détermine par 
la méthode différentielle, en prenant la différence d’une ordonnée 
intermédiaire et de la demi-somme des deux ordonnées adjacentes. 
Ainsi, en considérant les trois ordonnées qui répondent aux abs 
cisses æ — o, x, ¿r-f-o, il a la flèche Ro a , et les ordonnées qui 
répondent aux abscisses x, ¿c-f-o, x-h 20 donnent la flèche 
Ko® -f- 5So 3 , et la différence des deux flèches est 3So 3 . Cette valeur 
étant prise pour et Elisant, comme dans la première solution