366 THÉORIE DES FONCTIONS. 
et comme les fonctions primes se rapportent ici au tems on 
aura cette équation primitive 
MA -f- Noc —}— etc. = F Ct -f- D, 
D étant une constante arbitraire, qui sera nulle si on fait com 
mencer les aires A, a, etc. au commencement du temps t. Alors 
la somme des aires multipliées chacune par la masse correspon 
dante, sera proportionnelle au temps. 
H peut arriver, suivant la forme de la courbe dont a: et j sont 
les coordonnées, que Faire décrite par le rayon vecteur soit au 
contraire la différence de Faire de la courbe et de celle du triangle, 
auquel cas on aura 
Xy' yx' 2= 2A'J 
mais il est facile de se convaincre que, dans ce cas, Faire sera 
décrite dans un sens opposé. Donc en général la somme des pro 
duits des masses par les aires, sera proportionnelle au temps, 
en prenant positivement les aires tracées dans le même sens, et 
négativement celles qui seraient tracées dans un sens opposé. 
C’est mie remarque essentielle, et sans laquelle le théorème dont 
il s^agit ne serait pas vrai en général. 
Cette loi des aires aura donc lieu dans le mouvement de tout 
système de corps agissant les uns sur les autres d’une manière 
quelconque, pourvu que le système soit entièrement libre de tour 
ner autour de l’axe des 2 perpendiculaire au plan des x et y 9 car 
il est visible que les conditions provenant de la liaison mutuelle 
des corps, seront alors les mêmes, quelque direction qu’on donne 
aux axes des x et y. 
Et si les corps agissent les uns sur les autres par des forces 
d’attraction ou de répulsion, ces forces seront exprimées par 
des fonctions des distances \/ [ {x — 0 )* -f- (jr — v ) 2 -f- ( z — £ ) 3 ] 
lesquelles auront aussi la propriété que nous avons supposée, 
par conséquent la même loi des aires aura encore lieu. 
Enfin, si les corps M, N, etc. étaient de plus animés par des 
forces quelconques P, Q, etc., dirigées vers des points donnés de