5 7 8 THÉORIE DES FONCTIONS, 
45. Dans Féquation (art. 4i) 
Mua' etc. = ty' + Q?' 4- etc., 
les quantités p, q, etc. désignent les distances rectilignes des points 
où les forces P, Q, etc. sont appliquées, aux centres de ces forces; 
ainsi les quantités p\ q\ etc. expriment les vitesses de ces points 
suivant les directions de ces mêmes forces, et comme les quantités 
p y q, etc. n’entrent point dans l’équation, il s’ensuit qu’elle a tou 
jours lieu, quelles que soient les forces P, Q, etc., soit qu’elles 
tendent à des points donnés ou non, pourvu que l’on prenne pour 
//, q', etc. les vitesses respectives des points où ces forces sont 
appliquées suivant les directions mêmes des forces. 
Si les forces P, Q, étaient en équilibre, la quantité P/Z-f-Qÿ'-f-etc. 
serait nulle par le principe des vitesses virtuelles (art. 3o) : ainsi 
l’équation précédente montre ce que cette quantité devient lorsque 
les forces produisent du mouvement ; et l’on voit qu’elle est alors 
égale à la fonction prime de la moitié de la force vive de tous les 
corps du système, quelles que soient d’ailleurs la disposition et la 
liaison mutuelle de ces corps. 
Donc si, dans un instant quelconque, les forces qui agissent sur 
le système viennent à se contre-balancer, la fonction prime de 
la force vive sera alors nulle, et par conséquent, la force vive 
sera un maximum ou un minimum (art. 26, 2 e Partie). En général, 
de toutes les situations que le système peut prendre, celle où il 
serait en équilibre, est aussi celle où sa force vive serait un maxi 
mum ou un minimum s’il était en mouvement; et il est démontré que 
l’équilibre sera stable lorsque la force vive sera un maximum, et 
qu’il ne le sera pas, lorsque la force vive sera un minimum. Mais la 
démonstration de cette propriété singulière de l’équilibre ne peut 
pas être insérée ici ; on peut la voir dans la Mécanique analytique. 
46. Puisque les quantités p\ q\ etc. n’expriment que les vitesses 
des points où sont appliquées les forces P, Q, etc., estimées sui 
vant la direction de ces forces, on peut prendre pour/?', </', etc. 
les espaces simultanés parcourus par ces points, suivant ces di 
rections. Ainsi Pp' sera la fonction prime de Faire de la courbe