28 THÉORIE DES FONCTIONS. 
seul, cj étant regardée comme constante. Substituons maintenant 
œ-\~i pour x dans q, la fonction f (/?, q) deviendra pareillement 
f (/?, q ) -f. iq'ï r [q) -f- etc., où f 7 (q) représente la fonction prime de 
f(p,q), prise relativement à q seul,/? étant regardée comme 
constante. Quant au terme ipT(p), il est visible que par cette 
nouvelle substitution, il se trouverait augmenté de termes multi 
pliés par P, i 3 , etc. Ainsi les deux premiers termes de la série 
provenant du développement de f (/?, q), après la substitution de 
x~\- i pour x, seront simplement f[p, q)~\-i [p'V {p)-\-<l'ï' {y )] J de 
sorte qu’on aura 
y =/ f '(?)+?' 
Si y était une fonction de;?, q, r, représentée par f(p, <7, r), 
on trouverait de la même manière 
y=p'Î'{p)+ 9 'i'( 9 ) + rt'(r), 
et ainsi de suite. 
D’où il est qisé de tirer cette conclusion générale : que la fonc 
tion prime d’une fonction composée de differentes fonctions par 
ticulières , sera la somme des fonctions primes relatives à chacune 
de ces mêmes fonctions, considérées séparément et indépendam 
ment l’une de l’autre. 
Ce principe , combiné avec le précédent, suffira pour trouver 
les fonctions primes de toutes sortes de fonctions, ainsi que les 
autres fonctions dérivées des ordres supérieurs. 
Ainsi, en supposant X une fonction quelconque de x, les fonc 
tions primes de X m , IX, a x , sin X, cos X, etc. seront 7tiX m ~ l X', 
■Vf 
, a^X'Xa, X'cosX, — X'sinX, etc., et leurs fonctions secondes 
j7tK—X" + m(ra- i)X”—X'% — « x X"l« + a x X'’(la}‘, 
X r/ cos X — X /a sin X, — X" sin X — X' a cos X, etc., et ainsi de 
suite. 
17. Mais la fonction y pourrait n’être donnée que par une équa 
tion quelconque entre x et j-