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THÉORIE DES FONCTIONS. 
virgule ; alors les puissances dej m —i seront des fractions d’autant 
plus petites, qu’elles seront plus hautes, et par conséquent la série 
deviendra assez convergente pour qu’il suffise d’en prendre un 
petit nombre de termes, 
ai. On peut appliquer la méthode précédente à la recherche 
des séries qui expriment le sinus par l’arc > ou l’are par le sinus, 
et pour lesquelles on emploie aussi ( comme l’a fait Euler dans 
le même ouvrage ) la considération de l’infiniment petit et de 
l’infini. 
En effet, en partant de la formule connue pour la multiplication 
des angles cos nx + sin nx V— i (cos x -f- sin x[/ — x )", on a 
réciproquement 
cos x-f- sin X\/—• 1 = (cos nx -f- sin nxl)", 
où le nombre n peut être quelconque. 
Maintenant, quelle que soit l’expression de sin x en série de 
l’arc x, elle ne peut être que de la forme Ax + B#*-f- etc.; car ? 
puisque le sinus devient nul lorsque l’arc est nul, il est visible que 
cette expression ne doit contenir aucun terme sans x. Or, comme 
cos x ;= \/[i — ( sin x % )], on aura 
cos x=\/(i — A*x• — 2 AB# 3 — etc. ) = x — -f- etc. 
Les coefficiens A, B, etc. sont censés indépendans de l’arc .r; par 
conséquent, ils seront les mêmes pour tout autre arc. Substituant 
donc nx pour x, on aura pareillement 
sin nx == nAx •+• 7ï*B# a -f- etc. et cos nx = i A x 4- etc> 
Ponc l’équation précédente deviendra 
Développons le second membre à la manière du binôme ? en fai 
sant, pour abréger,