44- THÉORIE DES FONCTIONS. 
quërant des coefficiens differens dans les fonctions dérivées, ces 
coefficiens ne peuvent pas devenir tous nuis par la même valeur 
supposée de la variable. 
Dans le second cas, au contraire, il est évident que le radical 
disparaîtra nécessairement dans toutes les fonctions fr, î'x, C'a?,etc. 
à l’infini, puisque c’est la quantité radicale elle-même qui est sup 
posée s’évanouir pour une valeur donnée de la variable x. Mais 
l’évanouissement du radical ne pouvant plus avoir lieu dans 
la fonction f (x -f- i), où i est une quantité indéterminée et 
indépendante de x, il s’ensuit que la série fr ¿f'x + - î u x -f- etc. 
qui représente le développement de cette fonction, deviendra fau 
tive par l’absence du radical qu’elle doit contenir. 
Donc cette série sera légitime dans le premier cas, et ne le sera 
pas dans le second. 
25. Soit jr = fr, et par conséquent, en prenant les fonctions 
prime , seconde, etc, y' = f'x ,y"= f"x, etc. Supposons que pour 
une valeur donnée de x, il disparaisse dans fr un radical, lequel 
ne disparaisse pas dans fù: ; il est clair que pour cette valeur de x y 
la fonction ï’x devra avoir un plus grand nombre de valeurs diffe 
rentes que la fonction fr , à raison du radical qui se trouve dans i r x 
et qui a disparu dans fr; d’où il s’ensuit que la valeur de j' ne 
pourra pas être donnée par une fonction de x et y qui ne con 
tiendrait pas ce radical. Cependant, si dans l’équationy=£r on 
détruit ce même radical par l’élévation aux puissances, et que l’équa 
tion résultante soit représentée par F ( x,y ) = o, son équation prime 
donnera généralement, comme nous l’avons vu dans Fart, 17, 
F'C*) 
F' Cy y 
Donc cette expression sera en défaut dans le cas où Fon donne 
rait à x la valeur en question, ce qui ne peut avoir lieu qu’autant 
que les quantités F’(x) et F '{y) seront Fune et l’autre milles à 
la fois. Ainsi, dans le cas dont il s’agit, l’expression de y' devien 
dra égale à zéro divisé par zéro; et réciproquement, lorsque cela