5o THÉORIE DES FONCTIONS. 
et faisant x = a, ou aura simplement ¿X'+ - X"+ etc. pour la valeur 
m ® 
de X 3 de sorte que y'X deviendra \Ji(X! -f- ~ X’ 1 + etc.^ 3 donc la 
fonction f {x + i) contiendra, dans le cas de af = a , le radical 
V//, qui devra par conséquent se trouver dans son développement 
suivant les puissances de i. Voyons donc ce que donnera alors le 
développement fautif fr-fùfùî-f- ô { x -f- etc. 
Pour cela, j’observe que les fonctions f'(.r-f*0, f f '(x-j--i), etc. 
sont également les fonctions primes, secondes, etc. de la fonction 
ï[x-\-¿) ? soit qu’on les prenne relativement à x, soit qu’on les 
prenne relativement à 1, ce qui est évident, puisqu’on augmentant 
soit x f soit i d’une même quantité quelconque, on a le même 
accroissement de la quantité x + i. D’où il suit que l’on aura éga 
lement les valeurs de £'x, F'x, etc., quel que soit x, en prenant 
les fonctions primes, secondes, etc. de f{x +1) relativement à i y 
et faisant ensuite i = o. 
Or, si on suppose que le développement de f(a?-f- 0 doive con 
tenir, lorsque x-z=a 7 un terme affecté de ¿ m , tel que A¿ m , A étant 
une fonction de a, et m n’étant pas un nombre entier positif, en 
prenant les fonctions primes, secondes, etc. relativement à i, il 
faudra que les développemens de f' (¿r-f- i), f" [æ -f-i) , etc. con 
tiennent les termes ?nAi m ~ l , mÇm — 1) Ai m ~ 2 , etc. (art. 10). Donc 
faisant ¿=0, on en conclura que les fonctions fx, f'x, f'x, etc., 
lorsque x—a, contiendront respectivement les termes Ao m ,inAo m ~ l 7 
m(ni—i)Ao m—a , etc. 
Si m est un nombre quelconque négatif, il est clair que tous ses 
termes seront infinis. 
Si m est un nombre positif non entier, soit n le nombre entier 
immédiatement plus grand que m, il est visible que le terme 
m..(m—n~J-i ) Ao m ~ n sera infini, ainsi que tous les termes 
suivans , et que tous les précédons seront nuis. 
Donc en général la fonction ï n x et toutes les suivantes ï n+x æ 7 
etc. à Finfini 1 ? etc, étant des indices), seront in-