PREMIÈRE PARTIE, CHAP. V. 5i 
finies, n étant le nombre entier positif immédiatement plus grand 
que Fexposant m. 
3o. On conclura de là que le développement x-\- - f'¿c-f-etc. 
ne peut devenir fautif pour une valeur donnée de x, qu’autant 
qu’une des fonctions £r, i'x, f'x, etc. deviendra infinie, ainsi que 
toutes les suivantes pour cette valeur de x. Alors si n est l’indice 
de la première fonction qui devient infinie , le développement dont 
il s’agit devra contenir un terme de la forme i m , m étant un 
nombre compris entre n — i et n. 
Et si toutes les fonctions fr, f'x, i"x, etc. devenaient infinies 
pour la même valeur de x , le développement de f(a:-f- i ) contien 
drait dans ce cas des puissances négatives de i. 
Pour trouver alors la vraie forme du développement suivant 
les puissances ascendantes de i, il faudra faire d’abord dans la 
fonction f (x + i), .x égal à la valeur donnée, et développer ensuite 
suivant les puissances croissantes de i par les règles connues , en 
ayant égard aux puissances fractionnaires ou négatives de i qui 
se trouveraient dans la fonction même. 
Au reste, nous remarquerons qu’en faisant j’ = fx, et prenant 
x et j pour les coordonnées d’une courbe, cette courbe aura 
dans le point où l’une des fonctions J etc. devient infinie, 
ainsi que toutes les suivantes, un rebroussement dont l’espèce dé 
pendra de l’indice n, pourvu que l’exposant fractionnaire m ait 
pour dénominateur un nombre pair - et l’on déterminera la nature 
du rebroussement par la forme du développement de f(a;-f-f) 
dans ce cas. 
3i. Dans l’exemple de l’art. 27, où j= (x—a) \/{x~~h), on voit 
que la supposition de x~h détruit le radical dansjq et doit par 
conséquent le détruire aussi dans les fonctions dérivées j'ij", etc. 
Donc le développement ïx -j- iî'x -f- ~ f'x -f- etc., de f( x + i ), en 
supposant y = fie = {x—■«) \/{x — à), sera fautif dans le cas