5a THÉORIE DES FONCTIONS, 
de x = h. Eu effet, on aura dans ce cas , 
j = o, y=y'(x — b) + -~^ = oo, 
x étant =5 , et on trouvera de meme 
y' = oo, y" = oo, etc. 
Donc le développement dont il s’agit devra contenir alors un terme 
de la forme i m , m étant entre o et i. 
Soit en effet, x= h -f- i, ùc deviendra ( b — a-{~ i) \/i, de sorte 
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que le vrai développement de cette fonction sera (h—a) 
32. C’est aussi de la même manière qu’on résoudra la difficulté 
proposée à la fin de l’art. 28, sur les fractions qui demeureraient 
toujours indéterminées , en prenant à l’infini les fonctions dérivées 
du numérateur et du dénominateur. Nous y avons vu que cela ne 
saurait arriver que dans le cas où la même valeur de x rendrait 
ces fonctions successives infinies. 11 faudra donc alors supposer 
x = a ( a étant la valeur de x qui rend ces fonctions infinies ) 
dans l’expression générale de la fraction, réduire ensuite cette 
expression en série, suivant les puissances ascendantes de i, et 
le premier terme de la série, en faisant i = o, donnera la valeur 
cherchée de la fraction pour le cas de x—a. 
Ainsi, si l’on avait la fraction —*' ^ ~ a ) , qui de- 
vient ^ lorsque x = a, et dont les fonctions primes, secondes, etc. 
du numérateur et du dénominateur, deviennent toutes infinies par 
la même valeur de x, en y mettant a -f- i au lieu de x, et ré 
duisant le numérateur et le dénominateur en série, elle deviendra 
^ Hh 
2 \/a 
-f- etc. 
. • , i\/i . 
yzcu -f — -f- etc. 
q. 
V 1 
y'o. a 1 sa V/2 
-f-etc. j 
2 \/sa 
de sorte qu’en faisant i = o, on aura pour la valeur cherchée 
ile la fraction ? lorsque = a.