f
56 ÏHÉORiE DES FONCTIONS.
de nouveau les fonctions primes, on aura
f'x = 2C -f- 2.3Dx -f* 3.4Ex 2 -f* etc.,
où, faisant derechef x = o, on aura f" = 2C. Continuant de la
même manière , on trouvera
f w — 2.3D, f IV = 2.3.4E, etc. j
d’où l’on tire
A = f, B=f', C = ^ f', D = ^f / " etc.,
ce qui donnera, par la substitution , la même série pour fx que
ci-dessus. Mais cette méthode est moins directe que la précé
dente , et elle suppose déjà la théorie des fonctions dérivées ; elle est
d’ailleurs moins rigoureuse , en Ce qu’elle suppose de plus que la
somme de tous les termes affectés de x devient nulle lorsque
x= o, quoique les coefficiens de ces termes augmentent à l’infini
dans les équations dérivées; mais le grand avantage de la méthode
précédente, consiste en ce qu’elle donne le moyen d’arrêter le
développement de la série à tel terme que l’on voudra , et de juger
de la valeur du reste de la série.
Ce problème, l’un des plus importans de la théorie des séries ,
n’a pas encore été résolu d’une manière générale. On pourrait,
à la vérité, le résoudre pour chaque fonction en particulier, par
les méthodes exposées dans le chapitre premier ; mais il serait
impossible de parvenir par cette voie à une solution générale pour
une fonction quelconque.
35. Reprenons donc la formule générale trouvée ci-dessus
( art. 33 ),
fx = f (x —xz )-\-xzS' {x ■— xz) + ~~ f" (x —- xz) -f- etc.,
et supposons qu’on veuille s’arrêter au premier terme f(x—xz).
Comme tous les termes suivans sont multipliés par x, nous sup
poserons
fx 5= f ( X —xz) ri- xP y
V
