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PREMIÈRE PARTIE , CHAP. VL 
67 
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Jiièition 
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jusqu'à 
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yaleur 
zéro 
jusqu’à l’unité, on aura et ~ pour les limites de la valeur de 
la quantité R, lorsqu’on y fait z = 1. 
Et ainsi de suite. 
Maintenant il "est clair qu’en donnant à z , dans une fonction 
de x (1 — z ), toutes les valeurs depuis z = o jusqu’à z = x , les 
valeurs que recevra cette fonction seront les mêmes que celles 
que recevrait une pareille fonction de u, en donnant successive 
ment à u toutes les valeurs depuis u~ o jusqu’à u=.x\ car fai 
sant x ( 1 — z) — u , z = o donne u~ x, z = x donne u = o , 
et les valeurs intermédiaires de z donneront des valeurs de u 
intermédiaires entre celles-ci. D’où il est aisé de conclure que les 
quantités M et N seront la plus grande et la plus petite valeur de 
de Pm, relativement à toutes les valeurs de u, depuis u=zo jusqu’à 
zî = x; et que par conséquent toute valeur intermédiaire entre 
M et N pourra être exprimée par f'u, en donnant à u une valeur 
intermédiaire entre o et x. Donc la valeur de la quantité P relative 
à z = 1 pourra être exprimée par f 'u , u étant une quantité entre 
o et x. On en conclura de même que la valeur de Q répondant à 
2 = 1, pourra être exprimée par ~ f "u, en donnant au une valeur 
intermédiaire entre o et x. Et on en conclura pareillement, que 
la valeur de R relative à z = 1 pourra être exprimée par ^ 
en prenant pour u une quantité entre o et x. 
Et ainsi de suite. 
f'"i 
4o. D’où résulte enfin ce théorème nouveau et remarquable par 
sa simplicité et sa généralité, qu’en désignant par u une quantité 
inconnue, mais renfermée entre les limites o et x, on peut déve 
lopper successivement toute fonction de x et d’autres quantités 
quelconques suivant les puissances de x, de cette manière, 
ïx =s f. -f- xî'u 
= f. -f- xï ! . -f- — f"u, 
X 1 
f. 4- xi'. + — f". 4- ~ f 
1 2 2,3 
etc.