68 THÉORIE DES FONCTIONS. 
les quantités f., f'., f"., etc. étant les valeurs de la fonction ix 
et de ses dérivées f'x, f'x, etc., lorsqu’on y fait x = o. 
Ainsi pour le développement de i(z~\~x), suivant les puis 
sances de x, on aura 
f, = fe, f'. = f's, f etc., 
où Ton remarquera que les quantités f'z, f"z, etc. sont également 
les fonctions primes , secondes, etc. de fs, ce qui est évident, car 
il est visible que (z-\~x),{" (zx), etc. sont également les 
fonctions primes, secondes, etc. de f(z+x), soit qu’on les 
prenne relativement à x ou relativement à s, puisque l’augmen 
tation de z —j— x est la même , en changeant x en x + i, ou z 
en z -f- i. 
Prenant donc fz, f "z, etc. pour les fonctions dérivées de R, 
on aura 
f [z -f- X ) = fz + x f ( z 4“ u ) , 
= ïz -f- xi 'z -f- ~ f ' ( z -f- « ), 
— Ê5 + xi'z -b ~ i"z + i'" (z -f- u) , 
etc., 
où u désigne une quantité inconnue, mais renfermée entre les 
limites o et x. 
En changeant z en a? et a? en i, on aura le développement de 
i[x-\~ i) suivant les puissances de i 7 et l’on voit que dans ce 
développement la série infinie, à commencer d’un terme quel 
conque , est toujours égale à la valeur de ce premier terme, en 
y mettant x ~\-j à la place de x y j étant une quantité entre o 
et ¿5 que par conséquent la plus grande et la plus petite valeur 
de ce terme, relativement à toutes les valeurs de j, depuis o 
jusqu’à i, seront les limites de la valeur du reste de la série con 
tinuée à l’infini. 
Si on fait £s;=s m , on aura le développement du binôme (s -{-x ) m , 
et on en conclura que la somme de tous les termes, à commencer