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PREMIÈRE PARTIE, CHAP. Vil. 7 5 
où il n’y a plus de transcendantes ; on trouvera la même équation 
en faisant j ~ cos X. 
Si on fait ici pour X et y les mêmes substitutions que ci-des 
sus ( art. 42 ), et qu’après avoir ordonné les termes suivant les 
puissances de x, on égale à zéro la somme de tous ceux qui se 
trouveront multipliés par la même puissance de x , on aura autant 
d’équations particulières qui serviront à déterminer les coefficiens 
indéterminés de l’expression supposée de j par les deux qui pré 
cèdent. A l’égard des deux premiers, ils demeureront indéterminés ; 
mais il faudra les déterminer de manière que l’équation primitive 
et l’équation prime aient lieu en faisant x=o. Or l’équation 
j = sin X devient alors A=sin a, et l’équationcosX devient 
B = b cos a. * * 
44. Non-seulement l’équation dérivée du second ordre que nous 
Venons de trouver, peut servir à développer en série la valeur 
de sin X ou cos X; elle peut servir aussi à trouver une autre 
transformation de cette valeur, au moyen des exponentielles. 
Supposons, en effet, j = <A, e étant le nombre dont le loga 
rithme hyperbolique est l’unité (art. 12), et Y une fonction indé 
terminée de jrjen prenant les fonctions primes et secondes, on 
aura 
f = V'éN , y = (Y'* H- Y" ) , 
et ces valeurs étant substituées dans l’équation dont il s’agit, on 
aura, après la division par la quantité qui en multiplie tous 
les termes, 
X' ( Y" + Y /a ) — X"V' -f- N' 5 = o. 
.T’observe qu’on peut satisfaire à cette équation en faisant 
Y',== mX/, 
m étant un coefficient constant, ce qui donne Y" = mX"; car 
substituant ces valeurs, l’équation se réduit à 
( 1 -{- nf) X /3 = o; 
donc 
et tu = [/— 
1 -f- m a 
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