JjG THÉORIE DES FONCTIONS. 
des coefficiens indéterminés, comme nous l’avons trouvé ci-dessus. 
En effet, si on veut déterminer la valeur de j par une équation 
dérivée du premier ordre , cette équation donnera la valeur de f 
en x et j, et de là on trouvera une équation du second ordre en 
j", j r , j, x, une équation du troisième enj"', 5 x, et ainsi 
de suite ; de sorte qu’en substituant successivement dans ces équa 
tions les valeurs de j r , j", etc. données par les équations précé 
dentes, on aura en dernière analyse y, j"etc. exprimés en x 
et j. Donc, faisant x = o, on aura (j r ), [j" ), {/"' ), etc. exprimés * 
en (j) qui demeurera indéterminé. 
De même, si on ne fait dépendre la détermination de^* que d’une 
équation dérivée du second ordre en x, y, y et j", on en tirera 
successivement une équation tierce entre x , j, y, j", J n \ et ainsi 
de suite j et par des substitutions successives, on aura en dernière 
analyse,y, j'", etc., donnés en x, j,y■ de sorte qu’en faisant 
x = o, on aura les valeurs de (j"), {j"'), (jr lv ), etc., expri 
mées en (jr) et (j f ) , ces deux quantités demeurant indétermi 
nées j et ainsi de suite. 
Ainsi, lorsqu’on part d’une équation dérivée du premier ordre, 
il reste une indéterminée (j) ; lorsqu’on part d’une équation du 
second ordre, il reste deux indéterminées (jr) et {j') , et ainsi 
de suite • et l’on voit que ces indéterminées sont constantes, puis 
que ce sont les valeurs de j etc., lorsque x = o. 
46. Quoique la conclusion précédente soit fondée sur la théorie 
des séries, il n’est pas difficile de se convaincre qu’elle doit avoir 
lieu généralement, quelle que soit l’expression de jr, puisqu’on 
peut toujours regarder une expression en série comme le déve 
loppement d’une expression finie. Mais comme c’est là une pro 
priété caractéristique des équations dérivées entre deux variables , 
il est important de l’établir sur la nature même de ces équations. 
Considérons donc en général l’équation à deux variables 
F{x,j)= o, et désignons simplement par F(x,jr) / c=o son 
équation prime, par F {x,j)" = o, l’équation seconde, et ainsi 
de suite, en regardant x et j comme variable à-la-fois. Soient