PREMIÈRE PARTIE , CHAP. VIT. ^ 
n, h, c, etc. des constantes quelconques contenues dans la fonc 
tion F(jc, y), ces constantes seront les mêmes dans les fonctions 
dérivées; ainsi, puisque les équations ¥{x,j)=o et F (æ,j)' = o 
ont lieu en même temps , on pourra en éliminer une constante a 
et l’équation résultante sera une équation du premier ordre entre 
x,j et j f , qui renfermera une constante de moins que l’équation 
primitive, et qui aura par conséquent lieu en même temps que celle- 
ci. De même les trois équations ¥{x,y)=zo, F(jc ¥(x,y , =:o 1 
ayant lieu à la fois, on pourra en éliminer deux constantes a , h -, et 
l’équation résultante sera une équation du second ordre entre 
x, j, y et qui renfermera deux constantes de moins que 
l’équation primitive, et qui aura lieu en même temps qu’elle ; et 
ainsi de suite. 
Donc, puisque dans les équations à deux variables, une équa 
tion du premier ordre peut renfermer une constante de moins 
que l’équation primitive, une équation du second ordre peut ren 
fermer deux constantes de moins que l’équation primitive, et ainsi 
de suite, il s’ensuit réciproquement que l’équation primitive doit 
contenir une constante de plus que l’équation dérivée du premier 
ordre, deux constantes de plus que Féquation dérivée du second 
ordre, et ainsi de suite, constantes qui seront par conséquent 
arbitraires ; et il est visible en même temps qu’elles ne sauraient 
en contenir davantage, puisqu’on ne pourrait pas les faire dispa 
raître toutes par le moyen des équations dérivées. 
Donc, si l’on n’a pour la détermination d’une fonction qu’une 
équation du premier ordre, ou du second, ou etc., l’équation pri 
mitive , prise dans toute sa généralité, devra contenir une cons 
tante arbitraire, ou deux, etc., suivant l’ordre de l’équation donnée; 
et on déterminera ces constantes par des valeurs particulières don 
nées de la fonction ou de ses dérivées. 
Si donc on trouve d’une manière quelconque une équation en 
x et y qui satisfasse à une équation donnée d’un ordre quelconque t 
et qui renferme autant de constantes arbitraires qu’il y a d’unités 
dans findice de cet ordre, on en conclura que cette équation sera 
l’équation primitive de l’équation donnée , et pourra, dans tous les 
cas, être employée à la place de celle-ci