7 8 THÉORIE DES FONCTIONS.
4 7 . Au lieu d’éliminer à la fois les deux constantes a et b des trois
équations F(<r,jr)=°, , j) r = 0, F (x ,j )"= o , on peut
n’éliminer d’abord que la constante h ou a des deux premières ;
on aura ainsi deux équations du premier ordre , dont l’une ne ren
fermera que la constante a, et l’autre la constante l. Si maintenant
on élimine de chacune de ces équations la constante a ou b par
le moyen de son équation prime, on aura deux équations du second
ordre sans« ni Æ, qui devront coïncider avec l’équation résultante
de l’élimination simultanée de ces constantes, par le moyen des
trois équations F(^, j) = o, F(a:,j) / =o, F ( x s y ) f/ = o y
parce que la valeur de j" que ces équations du second ordre
donneront, et qui sera exprimée en x, y et sans a ni h, ne
peut qu’être la même , de quelque manière qu’elle soit déduite de
l’équation primitive.
D’où l’on peut conclure qu’une équation du second ordre peut
être dérivée de deux équations différentes du premier ordre, ren
fermant chacune une constante arbitraire de plus.
Et l’on prouvera de la même manière, qu’une équation du troi
sième ordre pourra être dérivée de trois équations différentes du
second ordre , renfermant chacune une constante arbitraire • et
ainsi de suite.
En même temps on voit que si pour une équation donnée du
second ordre, on en trouve deux du premier ordre qui satis
fassent chacune à cette équation, et qui renferment chacune une
constante arbitraire a ou b, on en pourra déduire immédiatement
l’équation primitive j car il suffira de chasser de ces équations la
quantité j', et l’on aura une équation en x et jr, avec deux cons
tantes arbitraires a et h.
11 en sera de même pour les équations du troisième ordre ; car
si on trouve trois équations du second ordre qui satisfassent cha
cune à une équation du troisième ordre, et qui aient en même
temps les constantes arbitraires a, b, c, on aura, en éliminant j'
et y", une équation en 1,/ et «, 6, e, qui sera par conséquent
l’équation primitive de l’équation donnée- et ainsi de suite.
48. Mais si pour une équation du second ordre on en trouve
