§ 7. Zurückführung konvergenter Zahlenfolgen 
auf monotone. 
Wenn eine Zahlenfolge u x , « 2 , u 3l ... den Grenzwert u hat, so 
kann man ihre Glieder in drei Klassen einteilen: 
1. solche, die kleiner als u, 
2. solche, die größer als n, 
3. solche, die gleich u sind. 
Zn jederKlasse können endlichviele odernnendlichvieleGliedergehören. 
Wenn zur dritten Klasse unendlichviele Glieder gehören, so bilden sie 
die Folge u, n, n,.... Wenn zur zweiten Klasse unendlichviele Glieder ge 
hören, so kann man sie so anordnen, daß sie eine absteigende Folge 
bilden. In jeder Umgebung von u liegen fast alle u n . Daher gibt es 
nur endlichviele u n , die größer als u +• 1, endlichviele, die zwar nicht 
größer als u -s- 1, aber doch größer als u -s- \, endlichviele, die zwar 
nicht größer als u ch- aber doch größer als u -j- g sind, usw. In 
jeder von diesen Gruppen kann man die Glieder nach absteigender 
Größe ordnen, weil die Gruppe nur eine endliche Anzahl von Gliedern 
enthält. Ans diese Weise entsteht eine absteigende Folge, die aus allen 
Gliedern der zweiten Klasse gebildet ist; denn jedes muß einmal an 
die Reihe kommen. Ebenso überzeugt man sich, daß die Glieder der 
ersten Klasse, falls es deren unendlichviele gibt, zu einer aufsteigenden 
Folge geordnet werden können. 
Es ergeben sich hiernach 7 Typen von konvergenten Zahlenfolgen. 
1. Jede Klasse enthält unendlichviele Glieder. 
Dann sieht die Folge nach geeigneter Anordnung ihrer Glieder so aus: 
u, a lf , n, a 2 , bz, U, a 5 , b H 
Hierbei ist (wie auch im folgenden) a u a 2l a 3 , ... eine aufsteigende 
und b lf bz, ?> 3 , .. . eine absteigende Folge mit dem Grenzwert u. 
2. Nur die erste und die dritte oder nur die zweite und die dritte 
Klasse enthalten unendlichviele Glieder. Die Folge sieht dann nach 
eventueller Streichung einer endlichen Anzahl von Gliedern und nach 
geeigneter Anordnung der übrigen so aus: 
u, a x , u, «o, u, ttz, . .. bzw. u, u, K, u, b är .. . 
3. Nur die erste und die zweite Klasse enthalten unendlichviele Glieder. 
Die Folge läßt sich durch dieselben Hilfsmittel wie bei 2 ans die Form 
i f ^2i ^2 t ^3' ^3, 
bringen.