Limesoperation. Hauptsätze der Grenzwertrechnung 
21 
obachter. Wenn ein solcher Beobachter den Punkt u betrachtet, während 
dieser die Folge u x , u 2l u a , . .. durchlaufend nach u konvergiert, so 
wird schließlich u nicht mehr von u unterscheidbar sein, d. h. der Be 
obachter wird sagen: „u fällt jetzt mit u zusammen und geht nicht 
mehr von der Stelle u fort". Wie fein auch der Beobachter arbeitet, 
d. h. wie klein der Schwellenwert s bei ihm auch sein mag, immer 
wird er schließlich jene Aussage machen und dabei bleiben müssen. 
Wenn u nach u konvergiert, indem es die Folge u x , u 2 , u a , 
durchläuft, so können wir sagen: u x ist der erste, u 2 der zweite, u a der 
dritte Wert, den u annimmt, usw. Der Grenzwert u ist dann gewisser 
maßen der unendlichste Wert von u. Dieser Ausdruck ist aber nicht 
üblich, ebensowenig der Ausdruck,,letzter Wert von u“, der bei Newton 
und den Bernoullis vorkommt. 
Man spricht von einem Grenzübergang (Übergang zur Grenze, 
d. h. Übergang zum Grenzwert), wenn man eine Veränderliche u nach 
einem Grenzwert u konvergieren läßt, wenn also u eine Folge u x , u 2 , 
u a , ... mit dem Grenzwert u durchläuft. Der Grenzübergang kann 
als eine Operation betrachtet werden, die auf u angewandt u liefert. 
Man nennt diese Operation die Limesaperation. Sie wird durch das 
Symbol lim ausgedrückt. 
§ 9. Die Hauptsätze der Grenzwertrechnnng. 
1. Satz 1. Aus lim u = 0, lim V ----- 0 
folgt lim (u -f- v) ----- 0, 
d. h. wenn u x , u 2 , u 3 , , .. und v x , v 2l v äl .. . Nullfolgen*) sind, 
so ist auch u x + v x , u. 2 4- v 2l w 3 -f- v a , ... eine Nnllfolge. 
Es kommt darauf an zu zeigen, daß in jeder Umgebung (— e, e) 
der Null fast alle u n + v n enthalten sind. Nun liegen aber fast alle 
u n zwischen — und ebenso fast alle v n . Also gelten fast immer 1 2 ) 
die Ungleichungen — | < u n < |, 
2 ^ ^ 2 ' 
1) Eine Nullfolge ist eine Folge mit dem Grenzwert Null. 
2) d. h. für fast alle Werte des Index n.