Häufangswerte als Grenzwerte. Größter u. kleinster Häufungswert 27 
Intervall nennen. Ist y die Mitte von («, ß), sv gibt es zwei 
Möglichkeiten: 
y wird von unendlichvielen u n übertroffen. Dann ist offenbar («, y) 
kein ausgezeichnetes Intervall, tvohl aber {y. ß). 
y wird nicht von unendlichvielen u n übertroffen. Dann ist offenbar 
(a, y) ein ausgezeichnetes Intervall, (y, ß) aber nicht. 
Man sieht, daß ein ausgezeichnetes Intervall eine und 
nur eine ausgezeichnete Hälfte hat. 
Offenbar ist nun (a, b) ein ausgezeichnetes Intervall, a wird in 
der Tat von unendlichvielen u n übertroffen (nämlich von allen) und 
h nicht (nämlich überhaupt von keinem uß. Es gibt daher in (a, h) 
eine ausgezeichnete Hälfte (a lf bß. Ebenso gibt es aber in(a^, b^eine 
ausgezeichnete Hälfte (« 2 , bß, in (a 2 , bß eine ausgezeichnete Hälfte 
(a 3 , bg) uff. Wir erhallen also eine Folge von ausgezeichneten Inter 
vallen: («i, bß, (a 2 , bß), (a 3l bß, .... 
Sie hat die Eigentümlichkeit, daß immer (a n+i , b n + ß) eine Hälfte von 
i a m &») ist- Die Zahlen ^ bilden offenbar eine aufsteigende, die Zahlen 
b n eine absteigende Folge. Beide Folgen sind in dem Intervall (a, b) 
enthalten. Nach § 6 existieren daher die Grenzwerte lim a n und lim b n . 
Nun ist aber lim (b n — aßß) — lim — 0. 
Hieraus folgt nach ß 9, Nr. 5 
lim a n — lim b n . 
Wir wollen diesen gemeinsamen Grenzwert von a n und b n mit A be 
zeichnen. a n konvergiert aufsteigend, b n absteigend nach A, so daß A 
in allen Intervallen (a n , bß) enthalten ist. Es gibt keine andre Zahl 
A' mit dieser Eigenschaft. Aus a n < Ä < h n folgt nämlich nach tz 5, 
Nr. 6 und 7, Ä = lim a n ----- lim b n , also A' ----- A. 
Also besteht folgender (sehr nützliche) Satz: Wenn in einer Folge 
von Intervallen jedes eine Hälfte des vorhergehenden ist, 
so gibt es eine und nur eine Zahl, die allen Intervallen 
der Folge angehört. 
Konstruiert man nun in unserem Falle um A eine beliebige Umge 
bung (A — £, A c), so ist bei genügend großem n das Intervall 
{a n , bß) ganz in ihr enthalten. Da a n , also auch U, —c, von unendlich 
vielen u n übertroffen wird, b n aber nicht, also auch A + £ nicht, so 
liegen in {A — £, A + e) unendlichviele u n . Daraus sehen wir, daß