Differentiation der Exponentialfunktion 41 
und bemerken, daß die n Summanden im Nenner kleiner als a, also 
zusammen kleiner als na sind, so ergibt sich 
Die absteigende Folge (|) ist also ganz zwischen —~ a ~ und a — 1, 
d. h. im Falle a ----- 10 zwischen x 9 0 und 9, enthalten. 
Nach § 6 können wir daher schließen, daß sie einen Grenzwert hat. 
Wir wollen ihn mit n bezeichnen, so daß 
r k — lim \ ni^a 11 — l) J 
ist. Da alle Glieder der Folge (|) größer als ^ sind, kann n nicht 
kleiner als ^ sein (vgl. § 9, Nr. 8). 
Wir wollen jetzt zeigen, daß (a h — 1): h auch dann dem Grenz« 
lvertk zustrebt, wenn wir/r irgendwie anders durch positive Werte 
nach Null konvergieren lassen. 
Nach ß 7 können wir uns auf den Fall beschränken, daß h abstei 
gend nach Null konvergiert, p sei die größte ganze Zahl, die sich von 
1 : h fortnehmen läßt. Dann ist 
p{a?+ 1 — l)< - j 1 < (p + 1) (a* — l). 
Wenn jetzt h absteigend nach Null konvergiert, so durchläuft p eine 
Teilfolge*) von 1, 2, 3, ..., wobei ihm endliche Ruhepausen gestattet 
sind. D. h. es darf sich jeder Wert eine endliche Anzahl von Malen 
wiederholen. 
Was machen nun 
p{aP + l — l) und (j) + 1) (« p — l)? 
Sie durchlaufen Teilfolgen von 
0 (a 1 — l), l(<r-l), ... bzw. 2 (a 1 — l), 3(a-—l), ..., 
1) Nur endlichviele /--Werte sind größer als 1. Streichen wir sie, so ist 
immer p > 0.