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II. Differentialrechnung 
und y ----- arc cot x soviel wie x == cot y (0 < y < %). Man erinnere 
sich an die Definitionen in § 17. 
In jedem dieser Fälle handelt es sich um zwei Funktionen 
V = f(x), x = cp{y), 
die aus verschiedenen Ausfassungen einer und derselben Abhängigkeit 
zwischen x und y entspringen. Das eine Mal wird x, das andre Mal 
y als unabhängige Veränderliche betrachtet. Zwei solche Funktionen 
nennt man zueinander invers und jede die Umkehrung der andern. 
Die in Rede stehenden Funktionen haben die Eigenschaft, beim Wach 
sen der unabhängigen Veränoerlichen stets in einer bestinlmten Richtung 
zu variieren, also beständig zuzunehmen bzw. abzunehmen. Solche 
Funktionen nennt man monoton. 
Zwei zueinander inverse monotone Funktionen y ----- f{x), x = cp (y) 
sind immer so beschaffen, daß zusammengehörige Inkremente 
Ax und Ay der beiden Veränderlichen gleichzeitig nach Null 
konvergieren, d. h. wenn Ax nach Null konvergiert, tut das ent 
sprechende Ay dasselbe und umgekehrt. Mit andern Worten: Beide 
Funktionen sind stetig (vgl. S. 37). Da die Beziehung zwischen den 
Funktionen eine wechselseitige ist, brauchen wir nur zu zeigen, daß aus 
lilu Ax ----- 0 folgt lim Ay = 0. Dabei können wir uns nach 8 7 darauf 
beschränken, Ax monoton der Null zustreben zu lassen. Ax durch 
laufe also eine monotone Nullfolge. Weil f eine monotone Funktion 
ist, wird dann Ay monoton in der Richtung nach Null variieren, mit 
hin einem Grenzwert zustreben (§ 6). Wäre dieser Grenzwert nicht 
null, sondern etwa gleich h, so läge er jedenfalls zwischen ü und allen 
Werten, die Ay während des Grenzüberganges annimmt. Wegen der 
Monotonie der Funktion cp wäre dann cp{y-\-1c) zwischen cp{y) und 
allen cp{y -f Ay), d. h. zwischen x und allen x -f- Ax enthalten und 
dabei, eben weil Je nicht null ist, von x verschieden. Dies widerspricht 
aber offenbar der Annahme Um Ax = 0. 
Hat nun die Funktion x ----- cp(y) eine Ableitung cp' (y), so ist bei 
hinschwindendem Ay Ax ,, . 
lim n = <? W- 
Hieraus folgt im Falle cp\y) ^ 0 nach § 10, Nr. 6 
r — y = - 1 
Ax cp'(y)' 
bei hinschwindendem Ay. Da aber, wie wir gesehen haben, Ax und