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II. Differentialrechnung 
wäre. Einer der beiden Werte f(x 2 ) wäre alsdann größer als 
alle Funktionswerte in (a, fr), was offenbar ein Widerspruch ist. Es 
gibt also in (a, fr) sicher eine ausgezeichnete Hälfte (a v fr x ), ebenso 
in («j, fr,) eine ausgezeichnete Hälfte (a 2 , fr 2 ) usw. Ist £ der gemein 
same Grenzwert von a n und b n (vgl. S. 27), so läßt sich zeigen, daß 
/(£) von keinem Funktionswert in («, fr) übertroffen wird. 
Wäre z. B. f(£ 0 )>f(£), so gäbe es 
in (%, frj eine Stelle g lf so daß 
tu (« 2 , b 2 ) eine Stelle so daß f{% 2 ) > 
tu (a 3 , fr,) eilte Stelle | 3 , so daß ffa)>ffa) 
ist, usw. Da lim = £ ist, so hat man wegen der Stetigkeit (vgl. S. 37) 
Um /XÜ = /X£X 
Andererseits ist aber Um s(^) > s(^) > /'(z). 
Wir erwähnen in diesem Zusammenhange noch eine zweite Eigen 
schaft der stetigen Funktionen. Werden über f{x) dieselben Voraus 
setzungen gemacht wie oben, so läßt sich zeigen, daß die Funktion in 
(a, b) alle Zwischenwerte zwischen ihrem größten und kleinsten Werte 
annimmt. Eine stetige Funktion läßt keinen Zwischenwert aus. 
Angenommen, es gäbe einen Zwischenwert K, den f{x) ansläßt 
Dieses K wäre also zwischen zwei Fnnktionswerten aus (st, b) ent 
halten, nämlich zwischen dem größten M und dem kleinsten m, ohne 
selbst ein Funktionswert zu sein. Zerlegen wir (a, b) in seine Hälften 
(st, c) und (c, fr), so wird K auch zwischen zwei Funktionswerten aus 
(«, c) oder, wenn dies nicht der Fall ist, zwischen zwei Fnnktions 
werten aus (c, b) enthalten sein. Denn K wird entweder zwischen M 
und f{c) oder zwischen f(c) und m liegen. M tritt aber mit f{c) zu 
sammen als Funktionswert in einem Halbintervall auf, ebenso m mit 
f{c). Wenigstens eine Hälfte («,, fr^) von (st, b) wird also ebenso wie 
(«, b) zwei Funktionswerte aufweisen, die L einschließen. Diese Eigen 
schaft überträgt sich weiter auf eine Hälfte (a 2 , b 2 ) von (st,, fr,), auf 
eine Hälfte (a 3 , fr 3 ) von (a 2 , fr 2 ) uff. In jedem Intervall (a n , frj 
gibt es zwei Stellen und ^ derart, daß 
Kvn)<K<fiü 
ist. 7] n und ^ konvergieren aber nach dem gemeinsamen Grenzwert £ 
von a n und b n (§ 5, Nr. 6). Aus 
Uni Vn = i, Hm s n = z