Unendliche Reihen (ZA 
gent. Die Gleichung (*) ist also nur eine andere Schreibweise der 
Limesrelation 
(*) («1 + "2 "1 h u n ) — s - (m = 1, 2, 3,...) 
Sie besagt, daß ff- u 2 4- • • • -f- u n , die -r-te Partialsumme 
der Reihe u x 4- u 2 -f- m 3 4- • • - , dem Grenzwert s zustrebt. 
Jeder Greuzlvert läßt sich als Summe einer unendlichen Reihe 
darstellen. Hat z. B. die Folge s lf s 2 , s s ,. . . den Grenzwert s und 
setzt man u l = s i , Mg = §2 — §i, m 3 = s 3 — s 2 , . . ,, so wird 
s n — u i + « 2 + ' ' ' + u n und daher .5' = u x 4- m 2 + m 3 + • • • 
Es ist also die Theorie der konvergenten unendlichen Reihen im 
Grunde dasselbe wie die Theorie der Grenzwerte. 
Der Leser wird auf Grund dieses Zusammenhanges leicht die Rich 
tigkeit folgender Regeln erkennen: 
Aus s --- + u 2 -|- m 3 -f • • • kann man schließen: 
1. c -f- s = c % -f m 2 -j- ■ • •, 
2. CS = CUJL + 6Mz -+••••, 
3. s = H s- u ni ) -f (« Wi + 1 f m„J H 
Um z. B. die Richtigkeit der letzten Gleichung festzustellen, wird der 
Leser bemerken, daß die Partialsummen der hier auftretenden Reihe 
offenbar s , §„ , §„ . . . lauten. Sie bilden eine Teilfolge der kon 
vergenten Folge s ll s 2 ,s 3l ... Es gilt hier also die Bemerkung 1 in § 5. 
Aus der ersten und dritten Regel ergibt sich, daß die Reihen 
Mj 4" Mz + Mg -f • • • und U 2 4" Mg 4- M 4 4- ■ • • 
gleichen Charakter haben, d. h. beide konvergent oder beide diver 
gent sind. Aus ß = W'2 4“ Mg ff folgt nämlich nach der ersten Regel 
Mi ff- ß — u x 4" m 8 ff- Mg ff- - - - 
und aus s = u x 4- m 2 4- • • • nach der ersten und dritten Regel 
S Ml — (— U X ff- U x ff- Uj) ff- Mg ff- ------- Az ff- rtg ff- - - - 
Da auch Mz ff- Mg ff- - - - und Mg ff- M 4 ff- - - - den gleichen Charakter 
haben, so gilt dasselbe von Ml ff-M 2 ff und m 3 4- m 4 4 Über 
haupt haben Ml ff- M 8 ff- - - - und u v -f u v+x -\- - - - (der v-te Rest 
von Ml ff- M 2 ff- - - -) den gleichen Charakter. 
Ferner ist leicht zu erkennen, daß aus 
s = u x -f- m 2 -f • • • und t = v x 4- v 2 4- • • • folgt 
s ff- § ----- Ml ff- i\ ff- Mz ff- Mz ff- - - - (Addition der Reihen.)