Unendliche Reihen 
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Eine notwendige Konvergenzbedingung. Die Reihe 
U 1 + «2 + W 3 + • • • 
sei konvergent und habe die Summe s. Dann ist s der Grenzwert der 
Folge s 2 > s 3i - ■ ■> die aus den Partialsummen der Reihe besteht. 
Auch die Folge 0,s l ,s 2l .,. hat den Grenzwert s (§ 5, Nr. 2). Daher 
hat die durch Subtraktion dieser beiden entstehende Folge 
s i, s 2 — s lr 5» — §2,. . . oder u t , u%, u 3f .. . 
den Grenzwert Null (§ 9, Nr. 5, Ende), lim?^ ----- 0 ist also eine 
notwendige Konvergenzbedingung. Aber im allgemeinen ist sie 
nicht hinreichend, wie wir an der Reihe 
sehen. 
Bei einer alternierenden Reihe vom Leibnizschen Typus ist u n ---- 0 
eine hinreichende Konvergenzbcdingung (vgl. S. 65). 
Ebenso verhält sich die geometrische Reihe 
1 4- x x 2 -f • • • 
wie wir jetzt sehen werden. Im Falle | x| > 1 ist sie divergent. In 
diesem Falle sind nämlich alle Glieder der Reihe ihrem Betrage nach 
größer oder gleich 1. Es ist also die Bedingung lim u n ----- 0 nicht erfüllt. 
Wenn aber 12 j < 1 ist, so konvergiert die geometrische Reihe 
absolut, d. h. die Reihe 1 + i % | + | # ] 2 + • • • tft konvergent. Um 
dies zu erkennen, bilden wir die -r-te Partialsumme *) 
und bemerken, daß sie kleiner als 
ist. Die Partialsummen der Reihe - liegen also 
unterhalb einer endlichen Grenze. Das genügt, wie wir wissen, für 
die Konvergenz dieser Reihe. Damit ist die absolute Konvergenz der 
Reihe 1 -f- x + x 2 -| sichergestellt. Da bei einer konvergenten Reihe 
das allgemeine Glied dem Grenzwert Null zustrebt, so ist im Falle 
x i < 1 stets 
lim x n == 0 
und daher 
lim (1 -f x -f • • • + x n ~ r } = lim \—— ----- - 1 
1 J 1 — x 1 — x 
l) Bgl. Formel (*) auf Seite 11.