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Addirt man alle diese Gleichungen und setzt 
a -f- b ~J— c -f- -J- 1 = 
a 2 + b 2 + c 2 + + l 2 — 2\ 2 
a 3 + b 3 + c 3 + -h l 3 = 2\ 3 
a" -j— b" -}- c n —|— 1" — ^'l n , 
wo der vorgesetzte griechische Buchstabe 2 andeutet, daß die Summe 
der nach einem gewissen Gesetze fortschreitenden Großen genommen 
werden soll, so erhält man nach geschehener Reduktion die Formel: 
n(n-1) 
l" 
" — nS (-ST 1 - 1 — T- 1 } + 
n (n — 1) (n — 2) 
1 
- i n - 2 ) 
1 
3 
«5 3 l"- 3 ) -s- .... (A), 
welche eine Relation zwischen den verschiedenen Größen 2\, 2i 2 , 
JSM 3 , ^r- 1 ausdrückt und uns die letzte derselben mittelst der 
übrigen finden läßt. 
Um von der Formel (A) einen Gebrauch zu machen, wollen wir 
vorerst n — 1 setzen; es entsteht alsdann ! — a — ö (^1° — l°j 
oder 1 = a + S (x — t}, wenn man erwägt, daß 
2\o = a ° + b° -j- 6° -s- .... -s- 1» — x 
ist, wo x die Anzahl der Glieder bezeichnet. 
Für n — 2 finden wir: 
l 2 — a 2 = 2S — 0 + <? 2 '(^1° — 1°), 
1 - A 
woraus, wegen — 1° = *— und 1 — a -f (x — 1) <?, 
u 
die bekannte Relation folgt: 
^ x(H-a) 
^ 1 - 2 
x. 
Die Annahme von n — 3 liefert: 
13 — a 3 — 3 S (^1 2 — l 2 ) + 3 § 2 (^1 - 1) + ö 3 - 1°), 
oder, wenn man darin statt (JS 1 ! 0 — l ü ) und (^1 — 1) die oben ge 
fundenen Werthe einführt: 
, _ 6* (^l 2 - l 2 ) + 3S (l 2 - a 2 ) - <? 2 (1 - a) 
a 2 
Daraus ergibt sich 
2 (, 3 - a 3 ) - 3 S O 2 - a 2 ) + <? 2 0 — a ) 
21 = 6^ 
oder, wenn man statt I dessen Werth (a -j- (x — 1) setzt: 
S\> = i! X3 + s X- + l«» i 
6 
X.