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§ 4. Bestimmung aller Berülmmgstransformationen der Ebene. 
ß = Sl x -f- y £ly = 0 ; £l Xl -f- y 1 £l, Jl = 0 
nach x, y, y' ebensowohl wie nach x x , y L , y x ' auflösbar sind, so liefert 
die Auflösung nach x x , y x , yf eine Berührungstransformation. In dieser 
Weise erhält man alle Berührungstransformationen der Ebene, die nicht 
bloss erweiterte Punkttransformationen sind. 
Wir untersuchen nun, welche analytische Kriterien die Gleichung 
ß = () erfüllen muss, damit ß = 0 wirklich eine Berührungstrans 
formation bestimmt. Einerseits zeigte die begriffliche Betrachtung, dass 
es notwendig ist und hinreicht, dass ß = 0 gerade oo 2 von einander 
verschiedene Curven in x x , y x darstellt, sobald x, y als Parameter auf 
gefasst werden. Andererseits zeigt die analytische Entwickelung, dass 
es notwendig ist und hinreicht, dass die drei Gleichungen (32) sowohl 
nach x, y, y' wie nach x x , y x , yf auflösbar sind. 
Indem wir für beide Forderungen analytische Kriterien suchen, 
werden wir beide Male zu demselben Ergebnis gelangen, wie von vorn 
herein klar ist. 
Fragen wir uns zuerst, wann die drei Gleichungen (32) sowohl 
nach x, y, y' wie nach x x , y 1} yf auflösbar sind. Die zweite Gleichung 
(32) bestimmt y', sobald nicht ß y infolge von ß = 0 verschwindet. 
Die erste und dritte sind nach x, y auflösbar oder, was auf dasselbe 
hinauskommt, die drei Gleichungen 
(33) ß = 0, — yf + Aß*, = 0, 1 -f- Aß yi = 0 
sind nach A, x, y auflösbar, sobald ihre Functionaldeterminante hin 
sichtlich A, x, y, nämlich 
0 ß* ßy 
ß.r x A ß* X, A ßy X, 
ßy x kSl X)Ji A ß yyi 
nicht infolge von (33) verschwindet. Da nach der letzten Gleichung 
(33) A =|= 0 und =j= 00 ist; sobald ß Vl nicht infolge von ß = 0 ver 
schwindet, so dürfen wir den Factor A, mit dem die ganze Deter 
minante behaftet ist, fortlassen, sodass die Determinante 
A = 
0 
ß.K 
ßy 
ßx x 
ßiC.rj 
QtJX, 
Q'Vx 
Qxy, 
bleibt. Die Gleichungen (32) sind mithin nach x, y, y' auflösbar, so 
bald weder ß y noch ß y± infolge von ß = 0 noch endlich die Deter 
minante A infolge von (33) verschwindet. Die Determinante A ist 
aber frei von yf und A. Wir brauchen also nur zu verlangen, dass