§ 4. Bestimmung aller Beriilirungstransformationen der Ebene. 
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ß, 
nicht infolge von (34) verschwinden. Sie stellt aber gleich Null gesetzt zusammen 
mit der zweiten Gleichung (34) ein in x, l homogenes lineares Gleichungenpaar 
dar. Da es kein System von Lösungen x, l vermöge der ersten Gleichung (34) 
haben darf, so folgt: Die Determinante dieses Gleichungenpaares hinsichtlich x, l, 
nämlich 
darf nicht infolge von ß — 0 verschwinden. Diese Determinante ist aber gerade 
gleich dem negativen Werte der obigen Determinante A. Wir kommen also, 
wie es sein musste, genau zu der im Theorem formulierten Bedingung. 
Dass man bei der Anwendnng des Theorems 1 Vorsicht walten lassen muss, Beispiel, 
lehrt folgendes Beispiel: Setzen wir 
Ä = (« — xj* + (y — y x ) 3 = 0, 
so haben wir nach dem Theorem die beiden Gleichungen zu bilden: 
x — x, + y' (y — y x ) = 0, 
x — x x + y t '(y — y x ) = 0. 
Diese Gleichungen werden befriedigt durch: 
x x =x, y t =y, yi=y\ 
was eine Berührungstransformation, nämlich die identische darstellt. Trotzdem 
aber ist im vorliegenden Falle, wie man leicht berechnet, die Determinante 
4 = — 8(a? — X x y — 8 (y — y x Y = — 8ß 
also gleich Null infolge von ß = 0. Der Fehler liegt hier einfach darin, dass 
x x — x, y x — y, Vi = y‘ gar nicht die Auflösung unserer drei Gleichungen 
ist. Denn wenn allein x x — x, y x = y gesetzt wird, so werden die obigen drei 
Gleichungen schon befriedigt, welchen Wert auch y x haben mag. Die ganze 
Schwierigkeit verschwindet, sobald man die Gleichung ß = 0 in ihre beiden 
Factoren zerspaltet und für jeden einzelnen 
x — x x ±i(y — y x ) = 0 
das Theorem 1 in Anwendung bringt. 
In allen bisherigen Entwickelungen haben wir das rechtwinklige ^deres 
Cartesische Coordinatensystem (x, y) zu Grunde gelegt. Wir wollen tensystem. 
aber nicht unterlassen, zu bemerken, dass wir auch jedes andere System 
von Punktcoordinaten hätten benutzen können. Liegen z. B. Polarcoordinaten 
r, cp vor, so bestimmen die drei Grössen r, cp und cp' = ^ einen Punkt 
(r, cp) mit hindurchgehender Geraden, also ein Linienelement, oo 1 Linien 
elemente (r, cp, cp') bilden einen Elementverein, wenn sie die Linienele 
mente einer Curve oder eines Punktes sind, d. h. wenn sie die der 
Relation dy — y'dx = 0 ganz analoge Relation 
dcp — cp' dr = 0