56 Kap. 2. Definition und Bestimmung der Berührungstransformationen der Ebene. 
erfüllen. Demgemäss ist eine Transformation von r, cp, cp' in r 1} cp n <+ 
eine Berührungstransformation der Ebene, wenn vermöge ihrer eine 
Relation von der Form 
dcp x — cpf dr t — Q(d<p — cp'dr) 
besteht, in der q nur von r, cp, cp' abhängt. 
Hieraus erhellt, dass die vorherigen Betrachtungen sämtlich richtig 
bleiben, wenn man statt x, y, y' die Grössen r, cp, cp' und statt x 1 ,y i , + 
die Grössen r 1} cp 1} cpf setzt. 
Dasselbe gilt, wie nicht weiter ausgeführt zu werden braucht, 
welches System von Punkfcoordinaten auch angewendet werden mag, 
§ 5. Beispiele von Berührungstransformationen. 
Schon im ersten Kapitel gaben wir eine Reihe von Beispielen 
von Berührungstransformationen. Wir wollen hier diese Transfor 
mationen mit Hülfe der im vorigen Paragraphen entwickelten Theorie 
nochmals ableiten und weitere Beispiele bringen, 
l. Beispiel. 1. Beispiel: Wählen wir die Gleichung ß = 0 in der Form 
£l = xx 1 + y + y 1 = 0, 
so liefert unser Theorem 1 ausser dieser die beiden Gleichungen: 
+ y' = 0, x + yf = 0, 
sodass sich ergiebt: 
(35) x t = — y, y L = xy — y, yl = — x. 
Die Determinante A ist hier also nicht Null. Die Gleichungen (35) 
recPoiaren stellen die Transformation durch reciprohe Polaren in bezug auf die 
Parabel 
x 2 + 2y = 0 
dar. (Ygl. § 3 d. 1. Kap., S. 24, Formeln (20).) 
Die Annahme: 
ß =r xx 1 + yy 1 + 1 = 0 
führt entsprechend zur Transformation durch reciproke Polaren hin 
sichtlich des imaginären Kreises: 
a: 2 + + + 1 = 0. 
(Ygl. ebenda, Formeln (18').) 
Wir fügen hier hinzu: Legen wir als Gleichung £1 — 0 eine in 
x, y wie in x 1} y l lineare Gleichung zu Grunde: 
(36) ß = (a x x + \y + cf) x t + (a 2 x + \y + cf) y t