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60 Kap. 2. Definition und Bestimmung der Berührungstransformationen der Ebene. 
Mithin gehen alle Punkte (x, y) bei 8 in congruente und gleichgestellte 
Curven k über. Die Gleichung £1 = 0 hat infolgedessen hier die be 
sondere Form: 
a(x — x 1} y — y x ) = 0. 
(40) 
Theorem 1 liefert 
d(cc 
da' dSi , _ 0 
i) '8 (y — fr) I* ' 7 
da__ . da 
Ct' \ * r) (li 
= 0, 
d{x — x x ) 1 d(y — y x ) 
also y x r — y r . Also wird jedes Element parallel mit sich verschoben, 
Durch Auflösung ergiebt sich etwa: 
x — x x = ep(y'), y — y x = ip(y'), 
sodass die gesuchte Berührungstransformation die Form hat: 
x x = x — ep(if), y x = y — t(y'), yl = y. 
Umgekehrt stellen drei solche Gleichungen eine Berührungstransfor 
mation dar, wenn sie eine Bedingung von der Form 
dyi — Vx dx x = Q{dy — y'dx) 
erfüllen, die hier so lautet: 
dy — y' dx — (i// — y'rp’) dy — Qidy — y' dx), 
d. h. es muss q = 1 und 
— y'<p' = 0 
sein. Diese Relation wird in allgemeinster Weise durch die Annahme 
dco(y') , / , dco(y') 
erfüllt. Also folgt: 
Satz 11: Die allgemeinste mit allen Translationen vertauschbare 
Berührungstransformation der Ebene hat die Form: 
, dco(y') / i r dco(y’) , , 
= s + ~FT’ yi= = y — a iy) + y -jf 1 ’ 2/i = y, 
in der co(y') eine beliebige Function von y' vor stellt*). 
4. Beispiel. 4. Beispiel: Gesucht wird die allgemeinste Berührungstransformation, 
die mit edlen Translationen längs der y-Axe vertauschbar ist. 
Geht bei der gesuchten TraUsformation S der Punkt p in die 
Curve h über, so geht jeder Punkt p x , der durch Translation längs 
der y-Axe aus p hervorgeht, vermöge S in die Curve k x über, die 
*) Beiläufig bemerken wir, dass der Inbegriff aller Berübrungstransformationen, 
die mit allen Translationen vertauschbar sind, die Gruppeneigenschaft besitzt. Alle 
diese Transformationen bilden nach unsrer Terminologie eine unendliche Gruppe. 
durch e 
Punkte 
gleichge 
(41) 
Hieraus 
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5. ] 
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(42) 
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(41) de 
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6. 
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vertaus» 
Anfang 
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y — yi 
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