en der Ebene. 
§ 5. Beispiele von Berührungstransformationen. 65 
,s Lot fällt 
)ringt, dass 
1 Winkel x 
lie in Fig.9, 
nähme n= — 1 die zur Fusspunkttransformation F inverse Berührungs 
transformation F~ 1 : 
r ,71 
T—i — —— , <p_i = cp — % -4- —, T_1 = t. 
S1U T * T i -r \ 2 1 1 
Ile Wieder- 
F s u. s. w. 
n F, die 
mit allen 
Es liegt also eine continuierliche Schar von oc 1 Berührungstrans 
formationen (46) vor, die insbesondere die Fusspunkttransformation, 
ihre inverse und die Wiederholungen dieser beiden enthält. Die Schar 
hat die Gruppeneigenschaft: In der That, wenn wir nach der Trans 
formation (46) diejenige ausführen, in der statt n eine Grösse m 
mngen von 
Lin müssen 
inder Wald 
se Wieder- 
nsformation 
steht, so ergiebt sich als der Aufeinanderfolge beider äquivalent die 
jenige, bei der statt n die Grösse n -j- m steht. Die Aufeinanderfolge 
zweier Transformationen der Schar (46) ist also stets wieder einer Trans 
formation der Schar äquivalent. Die Gleichungen (46) stellen, wie wir 
sagen, eine eingliedrige Gruppe von Berührungstransformationen dar. 
Lmals diese 
( r 2; F2 ? L) 
8. Beispiel: Die Transformation durch reciproke Polaren ist einer Ver- Polaren 
allgemeinerung fähig, die sich ergiebt, wenn man statt des Kegelschnittes eine om (- 1 u ^® ebl ’ 
algebraische Curve höherer Ordnung zugrunde legt. Wir erinnern zu dem Zweck 
an einige Betrachtungen der analytischen Geometrie der ebenen Curven: 
Nehmen wir an, gegeben sei eine Curve 1c von n teT Ordnung und es sei 
9>(®. V, *) = 0 
<' giebt F’’\ 
ihre Gleichung geschrieben in den homogenen Punktcoordinaten x, y, z. Ver 
stehen wir unter Uf die Operation 
TT n df df . df 
Uf = x1 d^ + lJl dFj + ** dz' 
ausgeführt auf eine Function f von x, y, z, so ist 
U cp — 0 
bei der be- 
eine in x,y,z vom (n — l) ton , in x x , y x , z x vom ersten Grade homogene Gleichung. 
Werden x 1 ,y 1 ,z t gegeben, so stellt Ucp = 0 eine Curve (n— l) ter Ordnung, 
geschrieben in x, y, z, dar, die sogenannte erste Polare des Punktes (x x , y x , z x ) 
hinsichtlich der gegebenen Curve k. Die Gleichung 
u (Ucp) = 0, 
oder symbolisch kürzer 
i7 2 qp = 0 
i zn wählen 
t soll. 
Gleichungen 
ite (r, cp, x) 
) eine ganze 
Gleichungen 
so auch bei 
ebt die An- 
geschrieben, ist in x,y,z homogen von (n— 2) ter , in x x , y x , z t homogen von 
zweiter Ordnung. Bei gegebenen x x , y x , z x stellt sie die zweite Polarcurve des 
Punktes (x 1} y x , z x ) hinsichtlich der gegebenen Curve k dar. Allgemein ist 
U m cp = 0 
eine in x, y, z vom (n — m) teu , in x x , y x , z x vom m t0Q Grade homogene Gleichung. 
Bei gegebenem Punkte (x x , y x , z x ) stellt sie eine Curve {n — m) ter Ordnung in 
x,y, z, die m te Polarcmve des Punktes (x x , y x , zf) hinsichtlich k, dar. 
Man kann nun eine dieser Gleichungen als Gleichung ii = 0 einer Berührungs 
transformation benutzen, nachdem man in sie etwa vorher nicht - homogene Punkt 
coordinaten eingeführt hat, um Theorem 1 an wenden zu können. Wir wollen 
% 
Lie, Geometrie der Berührungstransformationen I. 5 [23.11. 1895,]