66 Kap. 2. Definition und Bestimmung der Beriihrungstransformationen der Ebene. 
BerUlirgstrf. 
erzeugt aus 
<x l Pkttrf. 
Ainvendg. 
auf Roll- 
curven. 
liier die homogene Schreibweise beibehalten, da wir nur einige Eigenschaften der 
betreffenden Berührungstransformation besprechen. Benutzen wir die Gleichung 
Ucp = 0, 
die in x, y, z vom (n— l) ten , in x x , y x , z x vom ersten Grade ist. Wir bemerken, 
dass sie bei gegebenen x, y, z auch die (n — l) te Polare des Punktes (x, y, z) 
darstellt, geschrieben in den laufenden Coordinaten x x , y t , z x . Diese (n— l) te Polare 
ist von erster Ordnung, also eine gerade Linie. Wenn nun Ucp = 0 als Gleichung 
SZ = 0 benutzt wird, so erkennen wir: Die dadurch definierte Berührungstrans 
formation ordnet jedem Punkte (x, y, z) eine Gerade, nämlich seine (n— l) te Polare 
hinsichtlich Ic, zu. Dabei wird jeder ersten Polarcurve ein Punkt, nämlich ihr Pol, 
zugeordnet. 
Gehen wir allgemein von 
U m cp = 0 
aus. Diese Gleichung stellt bei festen x, y, z die (n — m) te Polare des Punktes 
(x, y, z), bei festen x x , y x , z x die w te Polare des Punktes (x x , y x , z x ) dar. Sie 
definiert mithin eine Berührungstransformation, bei der jeder Punkt in seine 
(n — m) te Polarcurve und jede m te Polarcurve in einen Punkt, ihren Pol, ver 
wandelt wird. 
Wir wollen noch ganz kurz auf eine Erzeugungsart von Berührungstrans 
formationen aus Scharen von Punkttransformationen*), die allerdings Interesse 
darbietet, aber in diesem Werke nicht gebraucht wird, aufmerksam machen. 
Es liege eine Schar von oo 1 Punkttransformationen vor: 
(48) ' oc x = (p(x, y, a), y x = y>(x, y, a), 
in deren Gleichungen also a die Rolle eines Parameters spielt. Wir wollen die 
zum Parameterwert a gehörige Punkttransformation mit T a bezeichnen. Wenn 
man nun auf ein und denselben Punkt (x, y) alle Punkttransformationen T a aus 
übt, so geht er in oo 1 durch (48) definierte Punkte (x x , y x ) über. Die von ihnen 
gebildete Curve wird dargestellt durch die Gleichung, die aus (48) durch Elimi 
nation von a folgt. Es sei dies die Gleichung 
(49) &{x, y, x x , y x ) = 0. 
Erfüllt diese Gleichung (49) die in Theorem 1 ausgesprochene Bedingung, so 
definiert sie eine Berührungstransformation. Bei dieser Berührungstransformation 
geht also jeder Punkt (x, y) in die Curve c x der Punkte über, in die er durch 
alle oo 1 Punkttransformationen T a verwandelt wird. Liegt nun irgend eine Curve 
k vor, so erhält man (vgl. S. 48) die Curve k x , in die sie übergeführt wird, als 
die Umhüllende der Curven c x , in welche die Punkte von k verwandelt werden. 
Man kann nun beweisen, dass diese Curve k x auch die Umhüllende einer zweiten 
Curvenschar ist: Führt man auf die Curve k nach und nach alle Punkttrans 
formationen T a aus, so gelangt sie in oo 1 verschiedene Lagen y a . Die Um 
hüllende dieser Curven y a ist dann ebenfalls k x . 
Ein Beispiel hierzu liefert die Theorie der Bollcurven: Liegen nämlich zwei 
einander berührende als starr gedachte Curven r und s vor, und rollt man r 
*) Die Ableitung von Berührungstransformationen aus oo 1 Punkttransfor 
mationen wurde gelegentlich von Bäcklund angedeutet. Engel hat sie in seiner 
Dissertation (Zur Theorie der Berührungstransformationen, Math. Ann. Bd. 27, S. 1, 
1883) eingehend dargestellt. Man kann die im Text gegebene Entwickelung ins 
besondere für die Theorie der Zahnräder verwerten. Klein setzte die Construction 
der Zahnräder mit Berührungstransformationen in Verbindung.