Beispiele von Berührungstransformationen. 
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n der Ebene. 
§ 5. 
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Bd. 27, S. 1, 
'ckelung ins- 
Construction 
auf s ab, so kommt r nach einander in verschiedene Lagen und jeder mit r starr 
verbundene Punkt p ebenfalls. Die mit r starr verbunden gedachten Punkte p 
der Ebene sind also gewissen oo 1 Punkttransformationen T a unterworfen, die hier 
Bewegungen sind. Bei allen T a beschreibt ein Punkt p eine Curve, seine Roll- 
curve c v Indem man jedem Punkt p seine Rollcurve c t zuordnet, erhält man 
eine Berührungstransformation. Wählen wir irgend eine mit r starr verbundene 
Curve k, so erhält man die Curve l\, in die sie durch die Berührungstransfor 
mation übergeht, auf zweierlei Weise: Einmal ist sie die Umhüllende der Roll- 
curven Cj der Punkte p von k. Andererseits ist sie die Umhüllende aller Lagen 
v . in welche die Curve k beim Abrollen successive übergeht. 
Dies erläutert Pig. 30, in der s eine Gerade, r ein auf ihr abrollender Kreis 
ist. Die Rollcurven c, der Punkte p sind dann Cykloiden. Als mit r starr ver 
bundene Curve k ist ein Kreis gewählt. Die von den Punkten p von k ausgehenden 
Cykloiden c x haben dieselbe Umhüllende k x wie die Kreise y a , in die der Kreis k 
successive übergeht. 
Kapitel 3. 
Definition der Beriihrungstransfomatiouen durch 
Diiferentialgleichungen. 
Die Methode, die wir im vorigen Kapitel zur Aufstellung aller 
Berührungstransformationen entwickelt haben, verlangt nur die Aus 
führung von Differentiationen und Eliminationen, also das, was wir 
ausführbare Operationen nennen. Diese Methode gestattete uns, unter 
Anderem eine Anzahl Kategorien von Berührungstransformationen mit 
gewissen besonderen Eigenschaften ohne Mühe aufzustellen. 
Es giebt nun aber noch eine zweite Methode zur Auffindung 
aller Berührungstransformationen, die allerdings die Integration von 
Differentialgleichungen verlangt. Wenn auch diese neue Methode des 
halb einen weniger elementaren Charakter hat, so ist sie doch äusserst 
wichtig, ja invariantentheoretisch sogar wichtiger als die frühere. 
Die neue Methode beruht darauf, dass die Functionen X, Y, P 
in den Gleichungen einer Berührungstransformation