70 Kap. 3. Definition d. Berührungstransformationen durch Differentialgleichungen. 
Wir haben hiermit eine Bedingung, die zwei von einander unab 
hängige Functionen X, Y von x, y, p erfüllen müssen, damit zwei 
Functionen P und q von x, y, p vorhanden sein können, für die 
'y yj — o identisch die Gleichung (2) erfüllt ist. Wir werden nun sehen, dass 
reichend diese Bedingung auch hinreichend für die Existenz dieser Functionen 
P und q ist. 
Wenn nämlich X, Y von einander unabhängig sind, so sind nicht 
alle zweireihigen Unterdeterminanten der Determinante (4), die den 
Wert [XI] = 0 hat, ebenfalls identisch Null.- Mithin reducieren sich 
die drei Gleichungen (3), die ja (2) ersetzen, auf gerade zwei von ein 
ander unabhängige, die P und q eindeutig bestimmen. Sie geben für 
P die beiden infolge von [XX] = 0 übereinstimmenden Werte: 
(?) 
Y* Y X + PY U 
X„ 
X *+P X y’ 
von denen sicher einer einen nicht identisch verschwindenden Nenner 
hat, denn sonst wäre X entgegen der Voraussetzung eine Constante. 
Für q ergeben sich die beiden ebenfalls infolge von [X7] = 0 über 
einstimmenden W erte: 
(8) 
x,x y -x y Y x 
x, r — x„ r 
p v v p 
X„ 
Relation zw. 
X und P. 
q ist von Null verschieden, denn wären beide Zähler Null, so wären 
X, Y nicht unabhängig von einander. 
Hiermit ist bewiesen: 
Satz 1: Sind X, Y zwei von einander unabhängige Functionen von 
x, y, p, so ist die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass 
es zwei Functionen P und q von x, y, p giebt, die identisch die Relation 
dY — PdX = q ■ (dy — pdx) 
erfüllen, gegeben durch die Gleichung: 
X p (Y x + p Y y ) - Y p (X x + pXy) = 0, 
die mit Benutzung des Klammersymbols auch so geschrieben werden kann: 
[XX] = 0. 
Ist diese Bedingung identisch erfüllt, so ergeben sich für P und q ein 
deutige Werte und zwar ist der Wert von q nicht identisch Null. 
Zwischen den drei Functionen X, Y, P bestehen noch einige 
wichtige Beziehungen. Um sie abzuleiten, differenzieren wir die erste 
Gleichung (3) partiell nach p, die letzte Gleichung (3) partiell nach 
x und subtrahieren sie von einander. Dann kommt: 
(d) P P X x — P x Xp — q -f- PQp’