72 Kap. 3. Definition cl. Berührungstransformationen durch Differentialgleichungen. 
Dio 
Bedingg. 
für P. 
Die drei erhaltenen Relationen 
(15) [X7] = 0, [PX] = 9 e\=0, [P Y] = qP 
wird man nun naturgemäss zerlegen in die beiden: 
(16) [XY] = 0, [P7]-P[PI] = 0 
und in diese: 
(17) [PX] = 4,e|eO. 
Denn die beiden Gleichungen (16) stellen Relationen zwischen den in 
der Berührungstransformation 
(18) = X(x, y,p), y x = Y(x, y,p), p x = P(cc, y,p) 
auftretenden Functionen dar, während die Formel (17) nur q be 
stimmt. 
Wenn nun die Voraussetzungen des letzten Satzes erfüllt sind, so 
ist zunächst Eines auffallend: Wir wissen, dass eine Berührungstrans 
formation (18) völlig eindeutig bestimmt ist, sobald man nur ihre 
beiden ersten Gleichungen, also die Functionen X, Y gegeben hat (vgl. 
§ 4 des 2. Kap., S. 48—52), dass also dann auch P völlig ein 
deutig bestimmt ist, während doch auf der anderen Seite die zweite 
Gleichung (16) eine Differentialgleichung für P ist. 
Aber diese zweite Gleichung (16) ist nur scheinbar eine Differential 
gleichung für P. Sie lässt sich ja so schreiben: 
T> _ IPVl _ P p( r » + P Y ») - ( P * + P P y) Y P 
[PX] ~ P t (X x + px,)~ (P„ + pP s ) x p ■ 
Infolge der ersten Gleichung (16) ist nun aber 
Y P— Y * + *> Y y 
X p — X x + pX y > 
sodass factisch rechts die Differentialquotienten von P nur scheinbar 
auftreten. Die zweite Gleichung (16) reduciert sich daher infolge der 
ersten Gleichung (16) auf die schon früher aufgestellte Relation: 
(19) 
p_ _*, + **, 
X p ~X x + pX y - 
Also können wir unserem früheren Satz 1 die folgende Gestalt geben: 
Satz 3: Sind X, Y von einander unabhängige Functionen von 
x, y, p, für welche die Eelation [I7] = 0 besteht, und erfüllt die 
Function P von x, y, p die Bedingung 
[PY] — P[PX] ez 0,