§ 2. Deutung der Involutionsbeziehung. 77 
Satz 7: Die beiden von einander unabhängigen Gleichungen 
m X(x, y, y') = Const., Y(x } y, y') = Const. 
stellen dann und nur dann intermediäre Integrale derselben Differential- 
(/leichung zweiter Ordnung in x, y vor, wenn die Functionen X, Y in 
Involution liegen. - 
Wie schon gesagt, ist dieser Satz im Grunde genommen nur eine 
andere Form des Satzes 6. 
Wir wollen noch darauf aufmerksam machen, dass die Gleichung 
(25) [Xf] = 0 
bei gegebenem X eine homogene lineare partielle Differentialgleichung 
erster Ordnung für die Function f von x, y,y' ist. Sie besitzt 
bekanntlich zwei von einander unabhängige Lösungen. Eine Lösung ist 
offenbar /‘=* X selbst. Daraus folgt: Ist Y eine von X unabhängige 
Lösung dieser Differentialgleichung, so ist eine beliebige Function von 
X und Y die allgemeinste. 
Wir können daher aus Satz 7 den Satz ableiten: 
Satz 8: Sind X(x, y, y") und Y(x, y, y') zwei von einander unab 
hängige intermediäre Integrale einer Differentialgleichung zweiter Ord 
nung in x, y, so ist das allgemeinste intermediäre Integral dieser Diffe 
rentialgleichung eine beliebige Function von X und Y 
Nehmen wir nunmehr an, es liege eine Differentialgleichung erster 
Ordnung in x, y mit einer willkürlichen Constanten a vor: 
(23) X(x, y, y') = a, 
also factisch eine Schar von oo 1 Differentialgleichungen erster Ordnung. 
Kennt man alsdann eine von X unabhängige Function Y, die mit 
X in Involution liegt, so lassen sich nach dem Satze 7 alle Inte- 
gralcurven einer jeden unter diesen oo 1 Differentialgleichungen ohne 
Mühe bestimmen. Denn da alsdann X und Y intermediäre Integrale 
ein und derselben Differentialgleichung zweiter Ordnung sind, so be 
sitzen die oo 1 Differentialgleichungen X — Const. dieselben oo 2 Integral- 
curven wie die oo 1 Differentialgleichungen Y = Const., d. h. jede Diffe 
rentialgleichung X—a 0 hat mit jeder Differentialgleichung Y=b 0 eine 
Integralcurve gemein. Eliminieren wir zwischen 
x (%, V, y') = a o, Y (x, y, y') = b 0 
die Grösse y', so liefert die hervorgehende Gleichung 
(o{x, y, a 0 , b 0 ) = 0 
Zweite 
.Deutung d. 
Involution.