78 Kap. 3. Definition cl. Berührungstransformationen durch Differentialgleichungen. 
diejenige Curve, welche die beiden vorliegenden ganz bestimmt ge 
gebenen Differentialgleichungen X — a 07 Y — b 0 erfüllt. % 
Um nun alle Integralcurven der bestimmt ausgewählten Gleichung 
y, y') = a 0 
zu bestimmen, fügt man hierzu die Gleichung 
Y(x, y, y') = b 
mit willkürlicher Constanten b. Beide zusammen stellen alsdann cc 1 
Elementvereine dar, die Integralgebilde von X = a 0 sind. Die endliche 
Gleichung dieser oo 1 Curven ist offenbar 
co(x, y, a 0 , b) — 0. 
Integration Satz 9: Die Integration einer vorgelegten Differentialgleichung erster 
a. Diffgi. 
x = Const. Ordnung m x, y: • 
X(x 7 y, y') = Const. 
ist durch Elimination zu leisten, sobald man eine von X unabhängige 
Function Y von x, y, y' kennt, die mit X in Involution liegt. 
integr.oiner Sind, wie bisher, X und Y zwei von einander unabhängige Func- 
Schar von 77 o o 
Diffgin. i.o. tionen von x, y, y', die in Involution liegen, so können wir sogar un 
endlich viele Differentialgleichungen erster Ordnung angeben, die durch 
Elimination integrierbar sind. Bilden wir nämlich eine beliebige Diffe 
rentialgleichung von der Form: 
(26) Y <p(X) = 0, 
so ist infolge von [X X] = 0 auch 
[r-y(X), X]eeeO, 
sodass aus Satz 9 unmittelbar die Integrierbarkeit von (26) folgt. Be 
grifflich klar ist dies deshalb, weil Y — <p(X) nach Satz 8 mit X 
und Y intermediäres Integral ein und derselben Differentialgleichung 
zweiter Ordnung ist. Diese Differentialgleichung zweiter Ordnung ist 
unter den gemachten Voraussetzungen integriert, denn ihre oo 2 Integral 
curven sind die durch 
X = a, Y= b 
dargestellten oo 2 Elementvereine. Wenn wir aber alle oo 2 Integral 
curven einer Differentialgleichung zweiter Ordnung kennen, so kennen 
wir natürlich auch die darunter enthaltenen oo 1 Integralcurven jeder 
Differentialgleichung erster Ordnung, die durch ein intermediäres 
Integral dargestellt wird. 
O O