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Dieses Elementarlehrbuch beschäftigt sich mit der Integration 
von gewöhnlichen und linearen partiellen Differentialgleichungen und zwar 
zunächst mit der Entwickelung der in den gebräuchlichen Lehrbüchern 
enthaltenen Integratiousverfahren, welche daselbst als einzelne von 
einander unabhängige Theorien dargestellt zu werden pflegen, während 
sie hier als Ausfluss aus einer allgemeinen Methode auftreten. Diese 
Methode giebt eine Integrationstheorie für alle Differentialgleichungen, 
ivelche eine oder mehrere bekannte infinitesimale Transformationen ge 
statten. Man könnte daher sagen, dass sie auf dem Principe der in 
finitesimalen Transformationen beruht, wobei jedoch zu bemerken wäre, 
dass sich dieses Princip nicht in einem Satze erschöpfend aussprechen 
lässt, dass es vielmehr in den verschiedensten Einkleidungen auftritt 
und die mannigfaltigsten Anwendungen gestattet. 
In ihrem weiteren Ausbau führt die Verwertung der infinitesimalen 
Transformationen zu dem äusserst wichtigen Gruppenbegriff, indem es 
auf dasselbe hinauskommt, ob eine Differentialgleichung mehrere in 
finitesimale Transformationen oder eine continuierliche Gruppe von 
Transformationen gestattet. Es zeigt sich in diesen Vorlesungen, dass 
diejenigen allgemeinen Classen von Differentialgleichungen, welche die 
älteren Mathematiker integrierten, und die in den Lehrbüchern be 
trachtet werden, eben als die allgemeinsten Differentialgleichungen 
charakterisiert werden können, die gewisse Gruppen von Transforma 
tionen gestatten. Somit kommt der moderne Begriff der Differential- 
invarianten, wenn auch in versteckter Form, in jedem Lehrbuch über 
Differentialgleichungen vor. In diesen Elementarvorlesungen be 
schränken wir uns auf die Betrachtung der gewöhnlichen Differential 
gleichungen erster, zweiter und dritter Ordnung, sowie der linearen 
partiellen Differentialgleichungen in drei und vier Veränderlichen, 
welche bekannte infinitesimale Transformationen gestatten. Für alle 
diese Differentialgleichungen entwickeln wir gewisse rationelle Inte- 
gratioustheorien, die sich durch die Verwertung des Principes der in 
finitesimalen Transformationen uaturgemäss darbieten.