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Einige wichtige Klassen von infinitesimalen Transformationen der Ebene. 77 
dx = x t — x = de -f- (da — dg)x -j- dh ■ y — d d ■ x 2 — de • xy, 
dy = y x — y — dl -{- dh ■ x -f- {die — dg) y — dd • xy — de • y 2 , 
oder, wenn man die infinitesimalen Constanten anders bezeichnet: 
dx — (a -f- ex -f- dy -j- hx 2 -j- kxy) dt, 
dy = (p + ex + gy + hxy -f hy 2 ) dt, 
sodass die gefundene infinitesimale projective Transformation der Ebene 
das Symbol besitzt: 
Uf={a-\ r cx-\-dy-\ r hx 2 -\ r Tixy) ~~ + (& + ex+gy + hxy + ly 2 ) • 
Wir werden später an passender Stelle beweisen, dass hiermit die 
allgemeinste infinitesimale projective Transformation der Ebene ge 
funden ist*). 
Die 8 Constanten a, h, c • • • Je können irgendwie angenommen 
werden. Setzt man sieben derselben gleich 0, die übrighleibende 
gleich 1, so ergeben sich die folgenden 8 infinitesimalen projectiven 
Tran sform ationen ; 
df 
df_ 
y dx ’ 
d£ 
dy 
V 
IL 
d y ’ 
2 df l 
x TZ + X V 
df . 2 df 
+y-^> 
a l iAJ lf r\ • 00 i/ r\ 
x J oy 7 J dx 
und die oben gefundene infinitesimale projective Transformation üf 
kann man dadurch herstellen, dass man diese 8 speciellen mit Con 
stanten multipliciert und addiert. 
Unter den infinitesimalen projectiven Transformationen sind offen 
bar auch einige uns schon bekannte enthalten: die infinitesimalen 
Translationen, die infinitesimale Rotation um den Anfangspunkt, die 
infinitesimale Ähnlichkeitstransformation vom Anfangspunkt aus und 
die infinitesimale affine Transformation längs der x-Axe. Es ist geo 
metrisch einleuchtend, dass alle diese projectiv sind, d. h. alle Punkte 
einer beliebigen Geraden wieder in die Punkte einer solchen über 
führen. 
Eine gute Übung ist es, die bei den oben angegebenen 8 infini 
tesimalen projectiven Transformationen invarianten Punkte und Curven 
zu bestimmen. Auch ist es nicht schwer, die endlichen Gleichungen 
der von diesen 8 infinitesimalen Transformationen erzeugten eingliedrigen 
Gruppen durch Integration der betreffenden simultanen Systeme auf 
zustellen. 
*) Man bemerke, dass die Incremente Sx und dy, welche eine beliebige 
infinitesimale projective Transformation den Coordinaten x, y erteilt, ganze 
Functionen (zweiten Grades) von x, y sind.