Einige wichtige Klassen von infinitesimalen Transformationen der Ebene. 81 
lachen, 
also dann nur das obere Vorzeichen zu berücksichtigen und zu setzen: 
m = « + iy + + iy) st. 
;se ist: 
£ und rj sind also der reelle Teil und der Factor des mit i behafteten 
Teiles der Function i¡j(x -f- iy), d. h. es ist 
£ -f- irj — ^(;x + iy). 
erfüllt als complexe Function die Bedingung 
pL + i lßL = o, 
OX ' cy ’ 
und diese ist auch hinreichend für iff. Also folgt*): Die infinitesimale 
Transformation 
Trajec- 
Kegel- 
^.xen in 
xen lie- 
9.) 
s dx ^ V dy 
ist dann und nur dann confprm, wenn | und r¡ die Bedingung erfüllen : 
di i . dr¡ . di dr¡ A 
ex dx 1 dy dy 
Z. B. die infinitesimale projectiye Transformation 
nfor men 
, infmi- 
ormatio- 
kttrans- 
onform, 
leliebige 
unkte p 
wen in 
, die sich 
Winkel 
üf= (a -}- cx -f- dy -f- hoc 2 -f- Jcxy) -I—- -f- 
+ (b + ex -f gy -f Jixy + ly 2 ) 
ist conform, wenn: • 
(c -j- 2hx -f ly) -f i(e + ly) + i{d -f- Ix) — {g -f- hx -f- 2ly) = 0, 
d. h. — da dies für alle x, y gelten soll — wenn: 
c -J- ie -f- id — g — 0, h -f- il — 0 
ist. Soll sie insbesondere auch reell sein, so muss also einzeln 
c = g, 6 —J— d = 0, h = 0, l = 0 
e solche 
ruderten 
=V-“Î 
;h setzt, 
sein, und somit hat die allgemeine reelle conforme und infinitesimale 
projective Transformation das Symbol: 
0 -f cx + dy) + (b — dx + cy) ~L. 
Dasselbe setzt sich linear mit Constanten zusammen aus den vier ein 
zelnen conformen und projectiven Trausformationssymboleu: 
sein, so 
K K Km K K_ K 
dx ’ dy ’ X dx ' y dy ’ ^ dx X dy 
Es ist 
Diese stellen die Translationen, die Ähnlichkeitstransformation vom 
projective 
ie in den 
lition der 
*) An einer anderen Stelle werden wir zeigen, dass eben die Gruppentheorie 
die einfachste Bestimmung der grössten continuierlichen Gruppe von conformen 
Transformationen des w-fach ausgedehnten Raumes liefert. 
Lie, Differentialgleichungen. 6