Einige wichtige Klassen von infinitesimalen Transformationen der Ebene. 83 
(6) 
J a x = a -f ( 
dx 
° "i" ff & ) 
Analog gebt der Punkt {x -f- a, y -f- ß) bei Uf in einen Punkt {x x -f- a 1} 
y 1 -(- ßß) über, für den 
(7) 
6t 
& = ß + (If“ + 
p) 
ist. Nun war 
V = aß — ah 
der (jetzt von zweiter Ordnung unendlich kleine) doppelte Inhalt des in 
finitesimalen Dreiecks A. Analog ist 
Vi = a 1 ß 1 
der doppelte Inhalt des infinitesimalen Dreiecks A lf in welches A durch 
Uf übergeführt wird. Die infinitesimale Transformation Uf soll fiächen- 
treu, d. h. 
Vi—V 
sein. Dies giebt nach (6) und (7): 
£‘ + lf»HI>+(£-+£iH 
[®+( 
[“ + (H “ + W ß ) di ] D + (Ä ° + W 0 äi ] = aß — ai 
dy 
oder, wenn man ausrechnet, wobei sich die Glieder 2. Ordnung fortheben, 
und die Glieder von höherer als 3. Ordnung vernachlässigt: 
•(£■ + £<») + (#« + £»)/»- 
dy 
(dy . dy 
— ^ l "ö— & "1 "ö— & 
\ÖX 1 oy 
dy 
\ _ (H ,H_ 
) \dx a ~y dy 
ß)b = 
Hierin heben sich einige Glieder fort. Da diese Bedingung für alle infini 
tesimalen Dreiecke A, d. h. für alle infinitesimalen Werte von a, a, &, ß 
erfüllt sein muss, so kommt einfach 
11 + h. = o 
dx ^ dy 
Diese Gleichung müssen also alle flächentreuen infinitesimalen Trans 
formationen erfüllen. 
Man kann auch beweisen, dass, wenn umgekehrt £ und rj diese 
Bedingung erfüllen, alsdann die infinitesimale Transformation 
Uf = i Tx + ^T y 
flächentreu ist. Wir wollen jedoch hierauf nicht weiter eingeheu. 
6*