Kriterium dafür, dass e. Schar von oo 1 Curven d. Ebene e. Transform, gestattet. 87 
Wir sagen ferner, dass eine Transformation eine Curvenschar 
o (x, y) = Const. 
invariant lässt, wenn sie jede Curve der Schar in eine Curve der 
Schar überführt. Alsdann benutzen wir auch häufig die Redeweise, 
dass die Curvenschar oo (x, y) — Coust. die Transformation gestattet 
oder zulässt, oder dass sie durch die Transformation in sich iibergeführt 
wird, indem ihre einzelnen Curven durch die Transformation unter 
einander vertauscht werden. 
So z. B. wird jede Gerade der Schar von Parallelgeraden 
y — nx = Const. 
bei einer Translation (Verschiebung) der Ebene wieder in eine Gerade 
dieser Schar übergeführt. Die Schar bleibt also bei einer Translation 
der Ebene invariant, sie gestattet dieselbe. Im allgemeinen wird diese 
Translation jede Gerade der Schar in eine andere Gerade derselben 
verwandeln; wenn jedoch die Richtung der Translation mit der Rich 
tung der Geraden zusammenfällt, so wird jede einzelne Gerade in sich 
verschoben, bleibt also auch für sich invariant. 
Ferner sieht man z. B., dass die Schar der oo 1 Kreise mit 
gleichem Radius r, deren Mittelpunkte auf der x-Axe liegen: 
(x — cf -f- y 2 = r 2 
(mit dem Parametern) bei der Translation längs der a:-Axe 
Xi = x -\-t, y 1 = y 
invariant bleibt. Diese Translation führt nämlich den Kreis mit 
Mittelpunktsabscisse c in den Kreis mit Mittelpunktsabscisse c -j- t 
über, was geometrisch selbstverständlich erscheint, aber sich auch 
analytisch ergiebt, da durch Einführung von x t und y 1 in die Kreis 
gleichung diese übergeht in 
(x t — c — t) 2 + y 2 = r 2 , 
also in die Gleichung des Kreises der Schar, dessen Mittelpunkt die 
Abscisse c -j- t hat. Jeder Punkt des ersteren Kreises (c) wird um 
die Strecke t längs der x-Axe verschoben, sodass er in einen Punkt 
des Kreises (c -(- t) übergeht. Und das gilt von allen Kreisen (c) 
der Schar. 
Wir wollen nun eine kurze Bemerkung aus der analytischen 
Geometrie eiuschalten, welche wir nachher gebrauchen. Wenn zwei 
Gleichungen 
A(x, y) — Const., B{x, y) — Const. 
dieselbe Schar von oo 1 Curven darstellen sollen, so muss eine jede 
Curve der ersten Schar Ä(x, y) = a mit einer gewissen Curve 
Invariante 
Curven 
schar.