Kriterium dafür, dass e. Schar von oo 1 Curven d. Ebene e. Transform, gestattet. 89 
Nach unserem vorausgeschickten Hülfssatze besteht daher eine Rela 
tion von der Form 
Vi), W(?i> yi))=W(co{x lf yj) 
oder also es muss 
o{x,y) = W(co{x l ,y 1 )) 
sein vermöge (2) oder, was dasselbe ist, vermöge (1). 
Dies notwendige und hinreichende Kriterium lässt sich auch durch 
Auflösung nach ca(x 1} yf) so aussprechen: Es muss vermöge der Trans 
formation (1) cj(x 17 yf) eine Function von co(x, y) allein sein: 
Vi) = ß(«0, y))- 
Dass dies Kriterium auch hinreicht, ist augenscheinlich, denn vermöge 
der Transformation geht hiernach die Curve co(x,y) — c in die Curve 
= ß(c) über, welche ebenfalls der Schar angehört, 
Satz 1: Die Schar von oo 1 Curven 
co {x, y) — Const. 
gestattet dann und nur dann die Transformation 
Xi = (p(x,y), y 1 = 'ih{x,y), 
wenn vermöge dieser Transformation co(x lf yf) eine Function von co(x,y) 
allein ist: 
«Oi? Vi) = &(,n{x, y)). 
Beispiel: Die oben betrachtete Schar von oo 1 Kreisen mit gleichem 
Radius r: 
(x — c) 2 -{- y 2 — r 2 
gestattet, wie wir sahen, die Translation 
x i =x + t, y 1 = y. 
Um dies durch unseren Satz zu verifizieren, müssen wir die Gleichung 
der Kreisschar erst nach ihrem Parameter c auflösen: 
co = x — ]/r 2 — y 2 — c. 
In der That ist nun 
co (x it yf) = Xi - Yr 2 — y 2 = X + t - ]/r 2 — y 2 = a(x, y) -f t, 
d. h. eine Function von co(x, y) allein. 
§ 2, Kriterium dafür, dass eine Schar von oo 1 Curven alle 
Transformationen einer eingliedrigen Gruppe gestattet. 
Nunmehr wollen wir untersuchen, wann eine Schar von oo 1 Curven Variante 
' Schar hei 
(o(x, y) — Const. 
nicht nur eine, sondern alle Transformationen einer eingliedrigen 
Gruppe üf= | + rf~£ gestattet. 
einer ein 
gliedrigen 
Gruppe.