Beispiele. 
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durch den Anfangspunkt gestattet, wie schon geometrisch klar ist, 
alle Rotationen um denselben: 
x Y = x cos t — y sin t, y 1 — x sin t -f- y cos t. 
Um dies analytisch zu beweisen, bilden wir die infinitesimale Rotation; 
welche die Gruppe jener endlichen Rotationen erzeugt, und berechnen 
Uco. Es kommt: 
= 4 + 1 = « 2 + 1. 
ar 1 1 
Uco = y -K 
V o. 
'X 
Uco ist also wirklich nur eine Function von co. 
4. Beispiel: Die Schar der concentrischen Kreise um den An 
fangspunkt 
O■} = x 2 y 2 = Const. 
gestattet offenbar auch die soeben betrachtete eingliedrige Gruppe 
von Rotationen. Um diese geometrisch augenscheinliche Thatsache 
analytisch zu beweisen, haben wir zu bilden: 
Hier tritt der besondere Fall Uco — 0 ein, der aussagt, dass jeder 
Kreis x 2 -{- y 2 = Const. einzeln bei allen Rotationen der Gruppe in 
variant bleibt, was ebenfalls geometrisch einleuchtet, weil diese Kreise 
die Bahncurven der Gruppe sind. 
5. Beispiel: Die vorhergehenden Beispiele waren nur Verificationen 
des Theorems 7. Jetzt wollen wir an einem Beispiel zeigen, wie man 
dies Theorem benutzen kann, um alle Scharen von oo 1 Curven zu 
finden, welche bei einer vorgelegten Gruppe üf invariant bleiben, und 
zwar unter der Voraussetzung, dass nur die infinitesimale Transfor 
mation der Gruppe gegeben sei. Wir wählen die eingliedrige Gruppe 
der Rotationen; 
Soll die Curvenschar ra{x, y) = Const. diese Rotationen gestatten, so 
muss Uco eine Function von co allein sein: 
7T 3 CO . 3 CO \ 
XJa = ~ywi + x T v ‘ = ß (“)■ 
Entweder ist ß=:0, dies liefert natürlich die Bahncurven x 2 y 2 = Const. 
Oder aber il ist verschieden von Null. Es kann immer erreicht werden,