nennen wir daher eine für die vorgelegte Differentialgleichung 
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Kapitel C, § 1. 
äy_ 
dx 
r 
X 
der durch ihn gehenden Integralcnrve zu. Soll aber die infinitesimale 
Transformation die Integralcurven einzeln stehen lassen, so muss sie 
jeden Punkt (x, y) längs seiner Integralcurve fortbewegen. Die Rich 
tung ^ , welche die infinitesimale Transformation £ ^ + V dem 
Punkte (x, y) zuordnet, muss also gleich der Tangentialrichtung 
X 
sein. 
Es ist also: 
l = Q {x, y)X, 7} = q{x, y) Y 
zu setzen. Umgekehrt lässt jede infinitesimale Transformation, deren 
£ und rj solche Werte haben, die also das Symbol 
•(•?») i x U+ Y f) 
hat — und zwar bei beliebiger Wahl der Function Q(x } y) —, eine 
jede Integralcurve co{x, y) = Const. der Differentialgleichung 
Xdy — Ydx = 0 
invariant. Diese begrifflich einleuchtende Umkehrung erhellt auch 
analytisch: Es ist ja 
X I 00 + = 0 
8x ' oy 
und daher auch 
•0», y) (x 
0# 1 Sy 
) = °* 
Triviale 
Transfor 
mation einer 
Differential 
gleichung. 
d. h. diese infinitesimale Transformation giebt auf co ausgeführt Null, 
was aber nach dem früheren Theorem 7 aussagt, dass jede Curve 
co = Const. einzeln die infinitesimale Transformation gestattet. 
Da wir also von vornherein alle infinitesimalen Transformationen 
kennen, welche jede Integralcurve der Differentialgleichung 
Xdy — Ydx = 0 
in sich transformieren, so kann auch nicht überraschen, dass eine 
solche infinitesimale Transformation, die nichts neues aussagt, auch 
nichts für die Integration der Differentialgleichung nützen kann. 
Sonst wäre ja jede beliebige Differentialgleichung Xdy — Ydx = 0 
durch unsere Methode integrabel. 
Eine derartige infinitesimale Transformation 
Q { x ,y)(x^ x +Y^